(25 %) Seja F: R^3 R^3 o campo F(x, y, z)=(2 x y, z, y), e seja K a superficie determinada pelo cilindro x^2+y^2=1,-1 <= z <= 1 com seus vetores normais apontando para fora. Calcular o fluxo do campo F através da superficie K.
(Sugestão: Usar a respectiva parametrizaçio f do cilindro usada na questão 3.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = (2xy, z, y) definido no espaço tridimensional. A superfície K é um cilindro dado por x^2 + y^2 = 1, que se estende de z = -1 até z = 1, e os vetores normais estão apontando para fora. O objetivo é calcular o fluxo desse campo vetorial através dessa superfície K.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, que envolve integrar o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal à superfície sobre toda a área da superfície. Além disso, vamos precisar parametrizar o cilindro para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro x^2 + y^2 = 1. Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas. Vamos definir os parâmetros theta e z, onde theta varia de 0 a 2pi e z varia de -1 a 1. Assim, a parametrização fica:
r(theta, z) = (costheta, sintheta, z)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de r em relação a theta e z:
rtheta = (-sintheta, costheta, 0)
rz = (0, 0, 1)

Passo 4

O vetor normal à superfície é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rtheta times rz = (costheta, sintheta, 0)
Esse vetor já está apontando para fora, como a questão pede.

Passo 5

Agora, vamos expressar o campo vetorial F na parametrização que definimos. Substituindo x = costheta, y = sintheta e z = z na expressão de F:
F(r(theta, z)) = (2 costheta sintheta, z, sintheta)

Passo 6

O fluxo é dado pela integral dupla do produto escalar de F com n sobre a superfície:
Fluxo = integral duplaK F cdot n , dS
Como dS = n , dS e dS = |rtheta times rz| dtheta dz, que aqui é 1, simplifica para:
Fluxo = integral0^2pi integral-1^1 F cdot n , dz dtheta

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar F cdot n:
F cdot n = (2 costheta sintheta)(costheta) + (z)(sintheta) + (sintheta)(0) = 2 cos^2theta sintheta + z sintheta

Passo 8

Agora, substituímos isso na integral:
Fluxo = integral0^2pi integral-1^1 (2 cos^2theta sintheta + z sintheta) dz dtheta
Vamos separar essa integral em duas partes:
Fluxo = integral0^2pi ( integral-1^1 2 cos^2theta sintheta , dz ) dtheta + integral0^2pi ( integral-1^1 z sintheta , dz ) dtheta

Passo 9

Vamos resolver a primeira integral interna:
integral-1^1 2 cos^2theta sintheta , dz = 2 cos^2theta sintheta cdot (z) gr|-1^1 = 2 cos^2theta sintheta (1 - (-1)) = 4 cos^2theta sintheta
E a segunda integral interna:
integral-1^1 z sintheta , dz = sintheta cdot ( z^22 ) gr|-1^1 = sintheta ( 12 - 12 ) = 0

Passo 10

Então, o fluxo simplifica para:
Fluxo = integral0^2pi 4 cos^2theta sintheta , dtheta

Passo 11

Vamos resolver essa integral. Podemos fazer uma substituição: deixe u = costheta, então du = -sintheta dtheta. Quando theta = 0, u=1, e quando theta = 2pi, u=1. Assim, a integral se torna:
Fluxo = 4 integral0^2pi cos^2theta sintheta , dtheta = 4 ( -integral1^1 u^2 , du ) = 0

Resposta

O fluxo do campo F através da superfície K é igual a zero.

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