Seja o campo , e seja a superficie determinada pelo cilindro com seus vetores normais apontando para fora. Calcular o fluxo do campo através da superficie .
(Sugestão: Usar a respectiva parametrizaçio f do cilindro usada na questão 3.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial definido no espaço tridimensional. A superfície é um cilindro dado por , que se estende de até , e os vetores normais estão apontando para fora. O objetivo é calcular o fluxo desse campo vetorial através dessa superfície .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, que envolve integrar o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal à superfície sobre toda a área da superfície. Além disso, vamos precisar parametrizar o cilindro para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas. Vamos definir os parâmetros e , onde varia de a e varia de a . Assim, a parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
O vetor normal à superfície é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Esse vetor já está apontando para fora, como a questão pede.
Passo 5
Agora, vamos expressar o campo vetorial na parametrização que definimos. Substituindo , e na expressão de :
Passo 6
O fluxo é dado pela integral dupla do produto escalar de com sobre a superfície:
Vamos resolver essa integral. Podemos fazer uma substituição: deixe u = costheta, então du = -sintheta dtheta. Quando theta = 0, u=1, e quando theta = 2pi, u=1. Assim, a integral se torna: