Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
(1+t) y^prime prime+2 y^prime+y=0
Escolha uma opção:
c e^tt
Nenhuma das demais alternativas
c(1+t)^2
c e^t^2
ct^2
c1+t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada:
(1+t) y'' + 2 y' + y = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como calcular o Wronskiano. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, vamos destrinchar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A forma padrão de uma equação diferencial de segunda ordem é:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
Para isso, vamos dividir toda a equação original por 1 + t (desde que 1 + t neq 0):
y'' + 21 + t y' + 11 + t y = 0
Assim, identificamos:
P(t) = 21 + t e Q(t) = 11 + t

Passo 3

O Wronskiano $ W(t) $ de duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ dessa equação satisfaz uma equação diferencial específica. A fórmula para o Wronskiano é:
W(t)
Isso significa que a derivada do Wronskiano é igual a y1 vezes o próprio Wronskiano.

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar $ W(t) $. A equação é:
W(t)
Essa é uma equação diferencial linear simples, e podemos resolver usando o método de separação de variáveis.

Passo 5

Reescrevendo a equação:
W'(t)W(t) = -21 + t
Agora, integramos ambos os lados:
integral W'(t)W(t) dt = -2 integral 11 + t dt
A integral do lado esquerdo é $ \ln|W(t)| $ e a do lado direito é $ -2 \ln|1 + t| $, então:
ln|W(t)|
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
W(t) = e^-2 ln|1 + t| + C = e^C cdot e^-2 ln|1 + t|
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ c $ (já que $ e^{C} $ é apenas uma constante), e usar a propriedade dos logaritmos $ e^{\ln a^b} = a^b $:
e^C

Resposta

A forma do Wronskiano é c(1+t)^2

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