Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
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Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como calcular o Wronskiano. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, vamos destrinchar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A forma padrão de uma equação diferencial de segunda ordem é:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por
(desde que
):
Assim, identificamos:
Passo 3
O Wronskiano $ W(t) $ de duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ dessa equação satisfaz uma equação diferencial específica. A fórmula para o Wronskiano é:
Isso significa que a derivada do Wronskiano é igual a
vezes o próprio Wronskiano.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar $ W(t) $. A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear simples, e podemos resolver usando o método de separação de variáveis.
Passo 5
Reescrevendo a equação:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é $ \ln|W(t)| $ e a do lado direito é $ -2 \ln|1 + t| $, então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ c $ (já que $ e^{C} $ é apenas uma constante), e usar a propriedade dos logaritmos $ e^{\ln a^b} = a^b $:
Resposta
A forma do Wronskiano é