Se
e
são funções de classe
definidas em
calcular a integral de linha do campo
ao longo de um quadrado de lado
percorrido no sentido antihorário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de F(x,y)=(φ(x)−y, x+ψ(y)) ao longo do contorno de um quadrado de lado a, orientado no sentido anti-horário. O conteúdo principal é integral de linha em campo vetorial e vamos usar o Teorema de Green para converter em integral dupla.
Passo 2
Como φ e ψ são C¹ e o quadrado é uma região simplesmente conexa no plano, podemos aplicar o Teorema de Green que diz:
Aqui P(x,y)=φ(x)−y e Q(x,y)=x+ψ(y).
Aqui P(x,y)=φ(x)−y e Q(x,y)=x+ψ(y).
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
e
Passo 4
O rotacional (integrando no interior) fica constante:
Passo 5
Basta agora avaliar a integral dupla sobre o quadrado de lado a:
Resposta
2a^2