Se varphi e psi são funções de classe mathscrC^1 definidas em R calcular a integral de linha do campo F(x, y)=(varphi(x)-y, x+psi(y)) ao longo de um quadrado de lado a percorrido no sentido antihorário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de F(x,y)=(φ(x)−y, x+ψ(y)) ao longo do contorno de um quadrado de lado a, orientado no sentido anti-horário. O conteúdo principal é integral de linha em campo vetorial e vamos usar o Teorema de Green para converter em integral dupla.

Passo 2

Como φ e ψ são C¹ e o quadrado é uma região simplesmente conexa no plano, podemos aplicar o Teorema de Green que diz: ointCP,dx+Q,dy=integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Aqui P(x,y)=φ(x)−y e Q(x,y)=x+ψ(y).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias: partial Qpartial x=partialpartial x(x+psi(y))=1, e partial Ppartial y=partialpartial y(varphi(x)-y)=-1

Passo 4

O rotacional (integrando no interior) fica constante: partial Qpartial x-partial Ppartial y=1-(-1)=2

Passo 5

Basta agora avaliar a integral dupla sobre o quadrado de lado a: integral duplaR2,dA=2timesárea(R)=2a^2á

Resposta

2a^2

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