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Seja f: R R derivável em x=0 tal que f(0)=f^prime(0)=0. Seja g: R R uma função limitada e não derivável em x=0. Calcule a derivada de h(x)=f(x) g(x) no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado dá duas funções: uma diferenciável em 0, f, com f(0)=0 e f’(0)=0, e outra g limitada mas não diferenciável em 0. Queremos achar a derivada de h(x)=f(x)g(x) em x=0. Vamos precisar da definição de derivada e de usar o fato de g ser limitada junto com o limite de f(x)/x.

Passo 2

Primeiro, observe que h(0)=f(0)·g(0)=0·g(0)=0.
Pela definição de derivada,
h'(0)=limxto0h(x)-h(0)x=limxto0f(x),g(x)x

Passo 3

Podemos reescrever
f(x),g(x)x=g(x)cdotf(x)x

Passo 4

Como f é diferenciável em 0 com f’(0)=0, sabemos que
limxto0f(x)x=f'(0)=0

Passo 5

Além disso, g é limitada, digamos |g(x)|≤M para todo x. Então
l|g(x)cdotf(x)xr|<= Ml|f(x)xr|

Passo 6

Como limxto0|f(x)/x|=0, pelo Teorema do Confronto temos
limxto0g(x)cdotf(x)x=0

Passo 7

Portanto h é diferenciável em 0 e
h'(0)=0

Resposta

h’(0)=0

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