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Seja derivável em tal que . Seja uma função limitada e não derivável em . Calcule a derivada de no ponto .
Passo 1
O enunciado dá duas funções: uma diferenciável em 0, f, com f(0)=0 e f’(0)=0, e outra g limitada mas não diferenciável em 0. Queremos achar a derivada de h(x)=f(x)g(x) em x=0. Vamos precisar da definição de derivada e de usar o fato de g ser limitada junto com o limite de f(x)/x.
Passo 2
Primeiro, observe que h(0)=f(0)·g(0)=0·g(0)=0.
Pela definição de derivada,
Passo 3
Podemos reescrever
Passo 4
Como f é diferenciável em 0 com f’(0)=0, sabemos que
Passo 5
Além disso, g é limitada, digamos |g(x)|≤M para todo x. Então
Passo 6
Como limxto0|f(x)/x|=0, pelo Teorema do Confronto temos