[25] Seja f(x)=1-x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0. Como escolher o valor de f(0), para que a função f seja contínua em x=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por \displaystyle f(x)=1 - x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) para x\neq 0 e pergunta: como escolher o valor de f(0) para que f seja contínua em x=0 ?\n\nInformações relevantes que o enunciado fornece:\n- A expressão de f(x) para x\neq 0 é \displaystyle 1 - x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right).\n- Não foi dado um valor para f(0); é esse valor que devemos escolher.\n- O ponto onde queremos continuidade é x=0.

Passo 2

Lembrando a definição prática de continuidade em um ponto: uma função f é contínua em x=0 se, e somente se,
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Ou seja, para escolher f(0) devemos calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) e então igualar f(0) a esse limite. Vou calcular o limite agora, passo a passo.

Passo 3

Vamos reescrever f(x) separando a parte que depende de x de forma clara:
f(x)=1 - \underbrace{x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)}_{:=g(x)}.
Aqui g(x)=x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right). Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) é equivalente a calcular \displaystyle 1 - \lim_{x\to 0} g(x), desde que o limite de g(x) exista. Então foco em \displaystyle \lim_{x\to 0} g(x).

Passo 4

Use uma propriedade simples do seno: para todo número real t vale
-1 \le \sin(t) \le 1.
Tomando t=\dfrac{1}{x} (isto é, aplicando essa desigualdade a \sin(1/x)) temos
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x gera cuidados com o sinal de x. Para evitar casos, é mais seguro multiplicar por |x| e obter uma desigualdade que vale para x positivo ou negativo. Multiplicando por |x| e lembrando que |x|\ge 0 obtemos
-|x| \le x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|.
Essa desigualdade mostra que g(x)=x\sin(1/x) está “espremido” entre -|x| e |x|.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche / Squeeze theorem). Esse teorema diz: se h_1(x)\le h(x)\le h_2(x) para x próximos de 0 (exceto talvez em 0) e \lim_{x\to 0} h_1(x)=\lim_{x\to 0} h_2(x)=L, então \lim_{x\to 0} h(x)=L.\n\nNo nosso caso temos h_1(x)=-|x|, h(x)=x\sin(1/x) e h_2(x)=|x|. Como
\lim_{x\to 0} (-|x|)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} |x|=0,
pelo Teorema do Confronto obtemos
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 6

Voltando à função f, como f(x)=1 - x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) e já mostramos que \displaystyle \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0, temos
\lim_{x\to 0} f(x)=1 - 0 = 1.

Passo 7

Conclusão lógica: para que f seja contínua em x=0 devemos escolher f(0) igual ao limite que acabamos de calcular. Portanto devemos definir
f(0)=1.
Com essa escolha temos \lim_{x\to 0} f(x)=f(0)=1, ou seja, f é contínua em 0.\n\nIntuição rápida: \sin(1/x) oscila muito quando x\to 0, mas é sempre entre -1 e 1; multiplicando por x (que vai para 0) essas oscilações ficam cada vez menores, então o produto tende a 0. Por isso a parte que sobra é o 1.

Resposta

f(0)=1

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