Verifique se as seguintes funções são contínuas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua. Informações dadas:
- A função usa a tangente, escrita como
(mesmo que eu vá escrevê-la como às vezes). - A função envolve exponencial
e uma fração. - Não há outras restrições explícitas além das implícitas pela definição das funções
e exponencial.
Passo 2
Vamos primeiro determinar o domínio (onde a função está definida). A tangente
está definida exatamente quando
. Portanto os pontos a excluir são
Além disso, precisamos checar se o denominador
pode ser zero. Para qualquer
temos
, logo
para todo
onde
está definido. Conclusão: o domínio de
é
Passo 3
Uma identidade útil que simplifica a visão da função é (faço a substituição
):
Prova curta dessa identidade: lembrando que
, se tomarmos
obtemos exatamente
. Aplicando com
temos
Esse reescrita é útil porque a função
é contínua em toda a reta, e a exponencial também é contínua — mas o fator limitante continua sendo a
.
Passo 4
Explico a ideia de continuidade que vamos usar (teorema de composição) de forma simples: se
é contínua num ponto
e
é contínua em
, então a composição
é contínua em
. Aqui podemos tomar
e
. Observações:
-
é contínua em todo ponto do seu domínio (ou seja, em cada com ). -
é contínua para todo .
Portanto, pela regra da composição,é contínua em todo ponto do domínio . Em palavras: a única possível fonte de descontinuidade são os pontos onde não está definida.
Passo 5
Para entender o tipo de descontinuidade nos pontos excluídos
, calculemos os limites laterais usando a ideia de que
tende a
conforme nos aproximamos de
:
- Ao aproximar
(pela esquerda) temos (para um do tipo ). Tomando com , Logo . - Ao aproximar
(pela direita) temos . Para , Logo .
Assim os limites laterais existem e são finitos, mas diferentes. Isso caracteriza uma descontinuidade do tipo salto (jump) em cada
.
Passo 6
Resumo didático e motivador: a função é uma composição de funções contínuas (tangente onde definida e
) e portanto é contínua em todo ponto onde
existe. Nos pontos onde
não existe (os pontos
) há descontinuidade porque os limites laterais são diferentes (
à esquerda e
à direita). Você pode decorar a ideia principal: "f é contínua sempre que
for definida; nos pontos onde
explode,
salta de
para
".
Resposta
Em cada ponto