Verifique se as seguintes funções são contínuas.
y=f(x)=\frac{e^{\operatorname{tg}(x)}-1}{e^{\operatorname{tg}(x)}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y=f(x)=\frac{e^{\operatorname{tg}(x)}-1}{e^{\operatorname{tg}(x)}+1}
é contínua. Informações dadas:
  • A função usa a tangente, escrita como \operatorname{tg}(x) (mesmo que eu vá escrevê-la como \tan x às vezes).
  • A função envolve exponencial e^{\tan x} e uma fração.
  • Não há outras restrições explícitas além das implícitas pela definição das funções \tan e exponencial.

Passo 2

Vamos primeiro determinar o domínio (onde a função está definida). A tangente \tan x está definida exatamente quando \cos x \neq 0. Portanto os pontos a excluir são
x = \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Além disso, precisamos checar se o denominador \;e^{\tan x}+1\; pode ser zero. Para qualquer t\in\mathbb{R} temos e^{t}>0, logo
e^{\tan x}+1>0
para todo x onde \tan x está definido. Conclusão: o domínio de f é
\mathcal{D}=\{x\in\mathbb{R}\mid \cos x\neq 0\}=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi: k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 3

Uma identidade útil que simplifica a visão da função é (faço a substituição u=\tan x):
\frac{e^{u}-1}{e^{u}+1}=\operatorname{tanh}\!\left(\frac{u}{2}\right).
Prova curta dessa identidade: lembrando que \operatorname{tanh} a=\dfrac{e^{2a}-1}{e^{2a}+1}, se tomarmos a=\dfrac{u}{2} obtemos exatamente \operatorname{tanh}\!\left(\dfrac{u}{2}\right)=\dfrac{e^{u}-1}{e^{u}+1}. Aplicando com u=\tan x temos
f(x)=\operatorname{tanh}\!\left(\frac{\tan x}{2}\right).
Esse reescrita é útil porque a função \operatorname{tanh} é contínua em toda a reta, e a exponencial também é contínua — mas o fator limitante continua sendo a \tan x.

Passo 4

Explico a ideia de continuidade que vamos usar (teorema de composição) de forma simples: se g é contínua num ponto a e h é contínua em g(a), então a composição h\circ g é contínua em a. Aqui podemos tomar g(x)=\tan x e h(u)=\operatorname{tanh}\!\left(\dfrac{u}{2}\right). Observações:
  • \tan x é contínua em todo ponto do seu domínio (ou seja, em cada x com \cos x\neq0).
  • h(u)=\operatorname{tanh}\!\left(\dfrac{u}{2}\right) é contínua para todo u\in\mathbb{R}.
    Portanto, pela regra da composição, f(x)=h(g(x)) é contínua em todo ponto do domínio \mathcal{D}. Em palavras: a única possível fonte de descontinuidade são os pontos onde \tan x não está definida.

Passo 5

Para entender o tipo de descontinuidade nos pontos excluídos x_0=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, calculemos os limites laterais usando a ideia de que \tan x tende a \pm\infty conforme nos aproximamos de x_0:
  • Ao aproximar x\to x_0^{-} (pela esquerda) temos \tan x\to +\infty (para um x_0 do tipo \tfrac{\pi}{2}+k\pi). Tomando t=\tan x com t\to +\infty, \frac{e^{t}-1}{e^{t}+1}=\frac{1-\mathrm{e}^{-t}}{1+\mathrm{e}^{-t}}\longrightarrow\frac{1-0}{1+0}=1.Logo \displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=1.
  • Ao aproximar x\to x_0^{+} (pela direita) temos \tan x\to -\infty. Para t\to -\infty, \frac{e^{t}-1}{e^{t}+1}\longrightarrow\frac{0-1}{0+1}=-1.Logo \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=-1.
Assim os limites laterais existem e são finitos, mas diferentes. Isso caracteriza uma descontinuidade do tipo salto (jump) em cada x_0=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 6

Resumo didático e motivador: a função é uma composição de funções contínuas (tangente onde definida e \operatorname{tanh}) e portanto é contínua em todo ponto onde \tan x existe. Nos pontos onde \tan x não existe (os pontos \tfrac{\pi}{2}+k\pi) há descontinuidade porque os limites laterais são diferentes ( 1 à esquerda e -1 à direita). Você pode decorar a ideia principal: "f é contínua sempre que \tan x for definida; nos pontos onde \tan explode, f salta de -1 para 1".

Resposta

f é contínua em \displaystyle\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi:\;k\in\mathbb{Z}\}.\n
Em cada ponto x_{0}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi a função tem descontinuidade de salto com \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=1 e \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=-1.

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