Determine f(0) de modo que as seguintes funções sejam contínuas em x=0 :
f(x)=x \ln (x+1)-x \ln (x-1);

Passo 1

O enunciado pede: determinar f(0) de modo que a função
f(x)=x\ln(x+1)-x\ln(1-x)
seja contínua em x=0.
Informações dadas: a expressão de f(x) para x (presumivelmente em um entorno de 0 onde os logaritmos estão definidos). A pergunta é: qual valor devemos atribuir a f(0) para que f seja contínua em 0?

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre continuidade num ponto: para que f seja contínua em x=0 é necessário e suficiente que
\lim_{x\to 0} f(x)
exista e seja igual a f(0). Portanto o objetivo prático é calcular \lim_{x\to 0} f(x) e então definir f(0) igual a esse limite. Vou mostrar passo a passo como calcular esse limite sem pular etapas.

Passo 3

Simplifico a expressão de f(x) juntando os logaritmos:
f(x)=x\ln(x+1)-x\ln(1-x)=x\bigl(\ln(1+x)-\ln(1-x)\bigr)=x\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).

Passo 4

Usarei um fato básico sobre logaritmos que é muito útil em limites pequenos: para t\to 0 vale
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Explicação curta: pode-se ver isso aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador) ou lembrando da expansão em série \ln(1+t)=t+o(t). Assim, para x\to 0 temos \ln(1+x)\sim x e \ln(1-x)\sim -x.

Passo 5

Calculo o comportamento de \ln\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr) dividido por x:
\frac{\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{x} =\frac{\ln(1+x)-\ln(1-x)}{x} =\frac{\ln(1+x)}{x}-\frac{\ln(1-x)}{x}.
Agora aplico o limite em cada parcela usando o fato do passo anterior:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-x)}{x}=-1.
Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{x}=1-(-1)=2.

Passo 6

Com o resultado do passo anterior, escrevo o limite de f(x):
\lim_{x\to 0}f(x) =\lim_{x\to 0} x\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
Posso reescrever isso como
\lim_{x\to 0} x\cdot\left(\frac{\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{x}\right).
Como \lim_{x\to 0} x=0 e \lim_{x\to 0}\frac{\ln\bigl(\frac{1+x}{1-x}\bigr)}{x}=2, o produto dos limites (existentes) é
\lim_{x\to 0}f(x)=0\cdot 2=0.
Intuição: para pequenos x temos \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\approx 2x, então f(x)\approx x\cdot 2x=2x^2, que tende a 0.

Passo 7

Conclusão prática para a continuidade: devemos definir f(0) igual ao limite encontrado. Assim
f(0)=0
garante que f é contínua em x=0. Força aí — você já viu as ideias essenciais: usar a aproximação \ln(1+t)\sim t para pequenos t e transformar o problema numa forma de produto onde um fator tende a zero.

Resposta

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