Determine
de modo que as seguintes funções sejam contínuas em
:
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar
de modo que a função
seja contínua em
.
Informações dadas: a expressão de para
(presumivelmente em um entorno de
onde os logaritmos estão definidos). A pergunta é: qual valor devemos atribuir a
para que
seja contínua em
?
Informações dadas: a expressão de
Passo 2
Lembrete rápido e didático sobre continuidade num ponto: para que
seja contínua em
é necessário e suficiente que
exista e seja igual a
. Portanto o objetivo prático é calcular
e então definir
igual a esse limite. Vou mostrar passo a passo como calcular esse limite sem pular etapas.
Passo 3
Simplifico a expressão de
juntando os logaritmos:
Passo 4
Usarei um fato básico sobre logaritmos que é muito útil em limites pequenos: para
vale
Explicação curta: pode-se ver isso aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador) ou lembrando da expansão em série
. Assim, para
temos
e
.
Passo 5
Calculo o comportamento de
dividido por
:
Agora aplico o limite em cada parcela usando o fato do passo anterior:
Logo
Passo 6
Com o resultado do passo anterior, escrevo o limite de
:
Posso reescrever isso como
Como
e
, o produto dos limites (existentes) é
Intuição: para pequenos
temos
, então
, que tende a
.
Passo 7
Conclusão prática para a continuidade: devemos definir
igual ao limite encontrado. Assim
garante que
é contínua em
. Força aí — você já viu as ideias essenciais: usar a aproximação
para pequenos
e transformar o problema numa forma de produto onde um fator tende a zero.