Verifique se as seguintes funções são contínuas.
\quad y=f(x)= \begin{cases}{[[x+3]]} & x<0 \\\ \frac{(x+1)^{3}-1}{x} & x>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
y=f(x)= \begin{cases} {[[x+3]]} & x<0,\\[4pt] \displaystyle \frac{(x+1)^{3}-1}{x} & x>0, \end{cases}
e pede para verificar se essa função é contínua. Observações e informações dadas:
  • A função está definida apenas para x<0 e para x>0; o valor em x=0 não foi definido no enunciado.
  • Eu interpreto o símbolo \,[[\cdot]]\, como o piso (função parte inteira pelo lado inferior), isto é, para qualquer real t \,[[t]]=\lfloor t\rfloor, o maior inteiro menor ou igual a t. Vou usar essa interpretação ao longo da resolução.
  • Precisamos analisar a continuidade ponto a ponto: para cada a em que a função está definida, verificar se \lim_{x\to a}f(x)=f(a); também verificar o ponto x=0 (a função não está definida aí, então precisa checar se é possível estender para ficar contínua).]

Passo 2

Relembrando de forma simples o conceito que vou usar (aula rápida e prática):
  • Uma função f é contínua em um ponto a se (i) f(a) está definido, (ii) \lim_{x\to a} f(x) existe e (iii) \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Para pontos de fronteira ou de troca de definição em uma função por partes, verificamos os limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x). A existência e igualdade desses dois limites é necessária para a existência do limite \lim_{x\to a} f(x).
  • Propriedade útil: polinômios são contínuos em todo ponto do domínio real.
  • Propriedade útil sobre o piso (função \lfloor t\rfloor):
    • \lfloor t\rfloor é constante em intervalos do tipo [n,n+1), onde n\in\mathbb{Z}.
    • \lfloor t\rfloor sofre saltos (descontinuidades) exatamente nos pontos t\in\mathbb{Z}. Em t=n temos \lim_{t\to n^-}\lfloor t\rfloor = n-1 e \lim_{t\to n^+}\lfloor t\rfloor = n; o valor \lfloor n\rfloor = n. Ou seja, é à direita contínua em inteiros, mas tem salto à esquerda.

Passo 3

Análise do ramo x>0. Vou simplificar a expressão:
\frac{(x+1)^{3}-1}{x} = \frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1-1}{x} = \frac{x^{3}+3x^{2}+3x}{x}.
Como estamos em x>0, podemos dividir por x e obter
\frac{(x+1)^{3}-1}{x} = x^{2}+3x+3.
Essa é um polinômio. Como polinômios são contínuos em todo número real, concluímos que o ramo x>0 é contínuo em todos os pontos de (0,\infty). Em particular, \lim_{x\to a} f(x)=f(a) para qualquer a>0.

Passo 4

Análise do ramo x<0: f(x)=\lfloor x+3\rfloor.
  • A função x\mapsto \lfloor x+3\rfloor tem a mesma estrutura do piso usual, só deslocada por 3. Portanto ela é constante em cada intervalo [n-3,n-2) para n\in\mathbb{Z}, porque nesses x temos n\le x+3 < n+1 e então \lfloor x+3\rfloor=n.
  • Assim, para qualquer ponto a<0 que não satisfaça a+3\in\mathbb{Z}, existe um pequeno intervalo ao redor de a em que \lfloor x+3\rfloor é constante; sendo constante, é contínua nesse intervalo e, em particular, contínua em a.
  • Em contraste, se a<0 e a+3\in\mathbb{Z} (ou seja, a=n-3 para algum n\in\mathbb{Z} com n-3<0), então há um salto em a. Mais precisamente, suponha a tal que a+3=n inteiro. Então \lim_{x\to a^-}\lfloor x+3\rfloor = n-1,\qquad \lim_{x\to a^+}\lfloor x+3\rfloor = n,e o valor f(a)=\lfloor a+3\rfloor=\lfloor n\rfloor=n. Como \lim_{x\to a^-}\lfloor x+3\rfloor \neq f(a), há descontinuidade (salto) em todo a dessa forma.
  • Conclusão: para x<0, f é contínua em todos os pontos exceto nos pontos onde x+3\in\mathbb{Z}. Em outras palavras, contínua em x\in(-\infty,0) com x+3\notin\mathbb{Z}; descontínua em x=n-3 para todo n\in\mathbb{Z} tal que n-3<0.

Passo 5

Análise do ponto x=0 (ponto de junção dos ramos).
  • Primeiro, a função não está definida em x=0 segundo o enunciado (não há peça para x=0). Pela definição de continuidade, se a função não está definida em 0 então não pode ser contínua em 0.
  • Além disso, calculemos os limites laterais para ver se haveria alguma chance de estender f em 0:
    • Limite lateral esquerdo: \lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} \lfloor x+3\rfloor.Como x\to 0^- implica x+3\to 3^-, temos \lfloor 3^-\rfloor=2. Logo \lim_{x\to 0^-} f(x)=2.
    • Limite lateral direito: \lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} (x^{2}+3x+3) = 0^{2}+3\cdot 0+3=3.
    • Como os limites laterais são diferentes ( 2 e 3), o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Portanto não existe nenhum valor que possamos atribuir a f(0) que torne f contínua em 0.
  • Conclusão: f é descontínua em x=0 (além de não estar definida aí).

Passo 6

Resumo didático e conclusão final, explicando de maneira prática onde a função é e não é contínua:
  • Em x>0: a expressão se reduz a x^{2}+3x+3, que é polinomial e, portanto, f é contínua em todo (0,\infty).
  • Em x<0: f(x)=\lfloor x+3\rfloor é contínua em pontos onde x+3 não é inteiro (porque ali a função é constante em um pequeno intervalo) e é descontínua (salto) nos pontos onde x+3\in\mathbb{Z}.
  • Em x=0: f não está definida e, de qualquer forma, os limites laterais são diferentes ( 2 e 3), então f é descontínua em 0.

Resposta

f é contínua em (0,\infty) e em todos os pontos de (-\infty,0) tais que x+3\notin\mathbb{Z}.\n
f é descontínua em x=0 e em todos os pontos de (-\infty,0) tais que x+3\in\mathbb{Z} (ou seja, em x=n-3 para n\in\mathbb{Z} com n-3<0).

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