25 Seja V=R^4. Verifique se S=(x, x+y, y, 2 x+3 y) ; x, y in R é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado define
V=R^4 e
S = (x,;x+y,;y,;2x+3y)mid x,yinR
Queremos verificar se S é subespaço de V. Para isso, vamos usar a ideia de que todo conjunto que é gerado (span) por vetores de R^4 é subespaço.

Passo 2

Observe que para quaisquer x,yinR temos
(x,;x+y,;y,;2x+3y) = x,(1,1,0,2) ;+; y,(0,1,1,3)
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S = spanl(1,1,0,2),;(0,1,1,3)r

Passo 3

Como todo span de vetores em R^4 é fechado sob soma e multiplicação escalar e contém o vetor zero, concluímos que S é um subespaço de V.

Resposta

S é subespaço de R^4.

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