20 Expresse o vetor X como combinação linear dos vetores A, B e C , onde X=(1,1,1), A=(0,1,-1), B=(1,1,0), C=(1,0,2)

Passo 1

Queremos escrever o vetor X=(1,1,1) como combinação linear dos vetores
A=(0,1,-1), B=(1,1,0), C=(1,0,2)
Isto é, vamos achar escalares alpha,beta,gamma tais que
X = alpha,A + beta,B + gamma,C

Passo 2

Equivalendo componente a componente, obtemos o sistema
0alpha + 1beta + 1gamma = 1, 1alpha + 1beta + 0gamma = 1, -1alpha + 0beta + 2gamma = 1
Simplificando, fica
beta + gamma = 1, alpha + beta = 1, -,alpha + 2gamma = 1

Passo 3

Da primeira equação tiramos
beta = 1 - gamma
Substituindo na segunda,
alpha + (1-gamma) = 1 Longrightarrow alpha = gamma

Passo 4

Agora colocamos alpha=gamma na terceira equação:
-,gamma + 2gamma = 1 Longrightarrow gamma = 1
Logo
alpha = 1, beta = 1 - gamma = 0

Resposta

X = 1cdot A + 0cdot B + 1cdot C,
ou seja
X = A + C

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