26 Seja S=[(1,2,-1),(3,0,1)] e W=[(-1,1,0),(2,1,3)] subespaços do R^3. Ache um vetor não nulo pertencente a S cap W.

Passo 1

O problema pede um vetor não nulo em , onde
Para precisamos de escalares tais que
Em seguida montamos um sistema linear em e resolvemos para encontrar .

Passo 2

Escrevendo um vetor genérico em S temos
v=(x,y,z)=a(1,2,-1)+b(3,0,1),
ou seja
x=a+3b, y=2a, z=-a+b

Passo 3

Escrevendo um vetor genérico em W temos
v=(x,y,z)=c(-1,1,0)+d(2,1,3),
ou seja
x=-c+2d, y=c+d, z=3d

Passo 4

Igualando coordenadas de v em S e em W obtemos o sistema
a + 3b = -c + 2d, 2a = c + d, -a + b = 3d

Passo 5

Vamos resolver em etapas:
  1. Da segunda equação segue c = 2a - d
  2. Substituindo em a+3b=-c+2d a+3b = -(2a-d)+2d = -2a+3d ;Longrightarrow; a+3b+2a-3d=0 ;Longrightarrow; a+b=d
  3. A terceira equação é -a+b=3d ;Longrightarrow; b - a = 3d
  4. Agora temos a+b=d, b-a=3d Substituindo d da primeira em b-a=3d leva a d=-a e então b=-2a.
    Com isso c=2a-(-a)=3a.

Passo 6

Com aneq0 o vetor na interseção é
v = a(1,2,-1) + b(3,0,1) = a(1,2,-1) + (-2a)(3,0,1) = a(-5,2,-3)
Escolhendo a=1 para ter vneq(0,0,0), fica
v = (-5,2,-3)

Resposta

Um vetor não nulo em Scap W é (-5,2,-3).

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