9.25 Sejam u e v vetores quaisquer não nulos. Mostre que o vetor
w=1|u||v|(|u| v+|v| u)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores quaisquer não nulos u e v e define
w = 1|u|,|v|l(|u|,v + |v|,ur)
Queremos mostrar que w bisseta o ângulo entre u e v, isto é, que o ângulo entre u e w é igual ao ângulo entre w e v. Para isso vamos usar a definição de ângulo via produto escalar.

Passo 2

Seja theta o ângulo entre u e v. Então vale
u cdot v = |u|,|v| costheta

Passo 3

Calculemos o módulo de w. Primeiro
llvert|u|,v + |v|,urrvert^2 = |u|^2,|v|^2 + |v|^2,|u|^2 + 2,|u|,|v|,(ucdot v)
Substituindo ucdot v = |u|,|v|costheta obtemos
llvert|u|,v + |v|,urrvert^2 = 2,|u|^2,|v|^2,(1+costheta)
Logo
|w| = raiz2,|u|^2,|v|^2,(1+costheta)|u|,|v| = raiz2,(1+costheta)

Passo 4

Agora calculemos cos do ângulo entre u e w. Temos
ucdot w = ucdotl(|u|,v + |v|,ur)|u|,|v| = |u|,(ucdot v)+|v|,(ucdot u)|u|,|v|
Substituindo ucdot v = |u|,|v|costheta e ucdot u = |u|^2
ucdot w = |u|,(|u|,|v|costheta)+|v|,|u|^2|u|,|v| = |u|,(1+costheta)
Portanto
cos(u,w) = ucdot w|u|,|w| = |u|,(1+costheta)|u|,raiz2,(1+costheta) = raiz1+costhetaraiz2 = costheta2

Passo 5

De forma análoga, trocando u por v obtemos
cos(v,w) = costheta2

Passo 6

Como cos(u,w)=cos(v,w), os ângulos widehatu w e widehatw v são iguais. Isso mostra que w bisseta o ângulo entre u e v.

Resposta

O vetor
w=1|u|,|v|l(|u|,v+|v|,ur)
é o vetor bissetor do ângulo formado por u e v.

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