2.25 Um soquete em forma cilíndrica com \mathbf{6 0 ~ c m} de diâmetro é montado dentro de um elevador hidráulico que desliza em outro cilindro com \mathbf{6 0 , 0 8 5 ~ c m} de diâmetro interno. 0 espaço anular entre os dois cilindros é preenchido com óleo cuja viscosidade cinemática é 0,045 \mathrm{~cm} 2 / \mathrm{s}, sendo a gravidade específica de 0,95 . O soquete opera a uma taxa de 10,15 \mathrm{m} / \mathrm{min}. Qual é a resistência ao atrito quando existem 4,25 \mathrm{~m} de queda dentro do cilindro?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (estou apenas listando o que foi fornecido e o que é pedido):
  • Diâmetro externo do soquete (diâmetro interno do cilindro móvel): D_i = 60\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro interno do cilindro estacionário: D_o = 60,085\\ \mathrm{cm}.
  • Viscosidade cinemática do óleo: \nu = 0,045\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Gravidade específica do óleo: S = 0,95.
  • Velocidade de operação: 10,15\\ \mathrm{m/min} (velocidade relativa entre os cilindros).
  • Comprimento de imersão (queda dentro do cilindro): L = 4,25\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede:
  • A resistência ao atrito (força de atrito viscosa) que atua quando o soquete está descendo a 10,15\\ \mathrm{m/min} ao longo de 4,25\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Plano de solução (sem ainda calcular): o fluido no espaço anular entre dois cilindros concêntricos sujeitos ao movimento axial relativo do cilindro interno produz um escoamento de Couette axial. Para escoamento estacionário, axisimétrico e sem gradiente de pressão axial, a equação reduzida para a velocidade axial u(r) é
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=0.
Vou resolver essa equação com as condições de contorno u(r_i)=U (velocidade do cilindro interno) e u(r_o)=0 (cilindro externo fixo). A partir da solução obtém-se a tensão de cisalhamento na superfície do cilindro interno e, multiplicando pela área lateral 2\pi r_i L, obtém-se a força de atrito viscosa F. Esta é a forma clássica de obter a força resistiva para escoamento de Couette entre cilindros concêntricos.

Passo 3

Resolução matemática (derivação e fórmulas, passo a passo didático).
  1. Resolver a equação para u(r)\). Integrando uma vez, \[r\frac{du}{dr}=C_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dr}=\frac{C_1}{r}.
Integrando novamente,
u(r)=C_1\ln r + C_2.
Aplicando as condições de contorno u(r_i)=U e u(r_o)=0:
\begin{cases} C_1\ln r_i + C_2 = U,\\[4pt] C_1\ln r_o + C_2 = 0. \end{cases}
Subtraindo as equações:
C_1(\ln r_i - \ln r_o)=U \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{U}{\ln(r_i/r_o)}.
Logo a derivada em (r_i] é
\left.\frac{du}{dr}\right|_{r=r_i} = \frac{C_1}{r_i} = \frac{U}{r_i\ln(r_i/r_o)}.
  1. A tensão de cisalhamento (viscosa) na superfície interna é
\tau_{r_i} = \mu \left.\frac{du}{dr}\right|_{r=r_i} = \mu \frac{U}{r_i\ln(r_i/r_o)},
onde \mu é a viscosidade dinâmica do óleo. A força de atrito (módulo) sobre a superfície lateral do cilindro interno é
F = \tau_{r_i}\times (\text{área lateral}) = \tau_{r_i}\times 2\pi r_i L.á
Substituindo \tau_{r_i} obtemos a fórmula compacta
\boxed{F=\frac{2\pi \mu L U}{\ln(r_o/r_i)}.}
(Aqui usei \ln(r_o/r_i)=-\ln(r_i/r_o) para obter denominador positivo; a força tem sentido oposto ao movimento.)]

Passo 4

Conversões numéricas e cálculo.
  1. Converter diâmetros e obter raios:
D_i = 60\\ \mathrm{cm} = 0{,}60\\ \mathrm{m},\qquad r_i=\frac{D_i}{2}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
D_o = 60{,}085\\ \mathrm{cm} = 0{,}60085\\ \mathrm{m},\qquad r_o=\frac{D_o}{2}=0{,}300425\\ \mathrm{m}.
  1. Converter viscosidade cinemática para unidades SI:
\nu = 0{,}045\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} = 0{,}045\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} = 4{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  1. Determinar densidade a partir da gravidade específica ( \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m}^3á):
\rho = S\times 1000 = 0{,}95\times 1000 = 950\\ \mathrm{kg/m}^3.
Viscosidade dinâmica:
\mu = \rho\,\nu = 950\times 4{,}5\times 10^{-6} = 4{,}275\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  1. Converter velocidade para \mathrm{m/s}:
U = 10{,}15\\ \mathrm{m/min} = \frac{10{,}15}{60}\\ \mathrm{m/s} = 0{,}169166\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  1. Calcular \ln(r_o/r_i):
\frac{r_o}{r_i}=\frac{0{,}300425}{0{,}30}=1{,}0014166667,\qquad \ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right)=0{,}00141567\\ (\text{aprox.}).
  1. Agora aplicar a fórmula
F=\frac{2\pi \mu L U}{\ln(r_o/r_i)}.
Calcule passo a passo (valores numéricos):
\mu L U = 4{,}275\times10^{-3}\times 4{,}25\times 0{,}1691667 \approx 3{,}078\times10^{-3}.
2\pi(\mu L U) \approx 6{,}2831853\times 3{,}078\times10^{-3} \approx 0{,}01934.
F \approx \frac{0{,}01934}{0{,}00141567} \approx 13{,}66\\ \mathrm{N}.
  1. Checagem da hipótese de escoamento laminar (para garantir validade da solução): diâmetro hidráulico aproximado do anel é D_h=2(r_o-r_i)=2\times0{,}000425=0{,}00085\\ \mathrm{m}. O número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{U D_h}{\nu}=\frac{0{,}16917\times 0{,}00085}{4{,}5\times10^{-6}}\approx 32,
que é muito pequeno (escoamento laminar). Portanto a solução laminar de Couette usada é válida.

Passo 5

Interpretação final e observações rápidas:
  • A força de resistência ao atrito encontrada é da ordem de dezenas de newtons e atua contrária ao movimento do soquete.
  • Usei a densidade do óleo a partir da gravidade específica fornecida e converti corretamente as unidades de viscosidade e velocidade.
  • Verifiquei que o escoamento é laminar, logo a solução analítica é apropriada. Se o gap fosse muito maior (maior r_o/r_i) ou a velocidade muito alta, seria necessário considerar regimes diferentes.

Resposta

13{,}7\\ \mathrm{N}

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