2.25 Um soquete em forma cilíndrica com \mathbf{6 0 ~ c m} de diâmetro é montado dentro de um elevador hidráulico que desliza em outro cilindro com \mathbf{6 0 , 0 8 5 ~ c m} de diâmetro interno. 0 espaço anular entre os dois cilindros é preenchido com óleo cuja viscosidade cinemática é 0,045 \mathrm{~cm} 2 / \mathrm{s}, sendo a gravidade específica de 0,95 . O soquete opera a uma taxa de 10,15 \mathrm{m} / \mathrm{min}. Qual é a resistência ao atrito quando existem 4,25 \mathrm{~m} de queda dentro do cilindro?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (estou apenas listando o que foi fornecido e o que é pedido):
Diâmetro externo do soquete (diâmetro interno do cilindro móvel): D_i = 60\\ \mathrm{cm}.
Diâmetro interno do cilindro estacionário: D_o = 60,085\\ \mathrm{cm}.
Viscosidade cinemática do óleo: \nu = 0,045\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Gravidade específica do óleo: S = 0,95.
Velocidade de operação: 10,15\\ \mathrm{m/min} (velocidade relativa entre os cilindros).
Comprimento de imersão (queda dentro do cilindro): L = 4,25\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede:
A resistência ao atrito (força de atrito viscosa) que atua quando o soquete está descendo a 10,15\\ \mathrm{m/min} ao longo de 4,25\\ \mathrm{m}.
Passo 2
Plano de solução (sem ainda calcular): o fluido no espaço anular entre dois cilindros concêntricos sujeitos ao movimento axial relativo do cilindro interno produz um escoamento de Couette axial. Para escoamento estacionário, axisimétrico e sem gradiente de pressão axial, a equação reduzida para a velocidade axial u(r) é
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=0.
Vou resolver essa equação com as condições de contorno u(r_i)=U (velocidade do cilindro interno) e u(r_o)=0 (cilindro externo fixo). A partir da solução obtém-se a tensão de cisalhamento na superfície do cilindro interno e, multiplicando pela área lateral 2\pi r_i L, obtém-se a força de atrito viscosa F. Esta é a forma clássica de obter a força resistiva para escoamento de Couette entre cilindros concêntricos.
Passo 3
Resolução matemática (derivação e fórmulas, passo a passo didático).
Resolver a equação para u(r)\). Integrando uma vez,
\[r\frac{du}{dr}=C_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dr}=\frac{C_1}{r}.
Integrando novamente,
u(r)=C_1\ln r + C_2.
Aplicando as condições de contorno u(r_i)=U e u(r_o)=0:
\mu L U = 4{,}275\times10^{-3}\times 4{,}25\times 0{,}1691667 \approx 3{,}078\times10^{-3}.
2\pi(\mu L U) \approx 6{,}2831853\times 3{,}078\times10^{-3} \approx 0{,}01934.
F \approx \frac{0{,}01934}{0{,}00141567} \approx 13{,}66\\ \mathrm{N}.
Checagem da hipótese de escoamento laminar (para garantir validade da solução): diâmetro hidráulico aproximado do anel é D_h=2(r_o-r_i)=2\times0{,}000425=0{,}00085\\ \mathrm{m}. O número de Reynolds
que é muito pequeno (escoamento laminar). Portanto a solução laminar de Couette usada é válida.
Passo 5
Interpretação final e observações rápidas:
A força de resistência ao atrito encontrada é da ordem de dezenas de newtons e atua contrária ao movimento do soquete.
Usei a densidade do óleo a partir da gravidade específica fornecida e converti corretamente as unidades de viscosidade e velocidade.
Verifiquei que o escoamento é laminar, logo a solução analítica é apropriada. Se o gap fosse muito maior (maior r_o/r_i) ou a velocidade muito alta, seria necessário considerar regimes diferentes.