Um fluido newtoniano incompressível escoa em regime permanente através da região anular entre dois tubos cilíndricos concêntricos muito longos. Considere: escoamento permanente, incompressível e totalmente desenvolvido
Dados:
raio interno: R_{i}=1,0 \mathrm{~cm}
raio externo: R_{o}=3,0 \mathrm{~cm}
viscosidade: \mu=0,1 \mathrm{~Pa}.s
gradiente de pressão: \frac{d p}{d z}=-200 \mathrm{~Pa} / \mathrm{m}
a) Simplifique a equação de Navier-Stokes na direção axial.
b) Determine o perfil de velocidade v_{z}(r).
c) Determine a posição onde a velocidade é máxima.
d) Calcule a vazão volumétrica.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • raio interno: R_{i}=1{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m},
  • raio externo: R_{o}=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m},
  • viscosidade dinâmica: \mu=0{,}1\\ \mathrm{Pa\cdot s},
  • gradiente de pressão (constante): \dfrac{dp}{dz}=-200\\ \mathrm{Pa/m}.
O enunciado pede:
a) Simplificar a equação de Navier–Stokes na direção axial para este escoamento.
b) Determinar o perfil de velocidade axial v_{z}(r) (função do raio r).
c) Determinar a posição r onde a velocidade é máxima.
d) Calcular a vazão volumétrica Q.
Condições implícitas importantes (já dadas no enunciado):
  • escoamento estacionário (permanente),
  • escoamento incompressível,
  • escoamento totalmente desenvolvido axialmente (ou seja, v_{z}=v_{z}(r) somente, sem dependência de z),
  • escoamento entre cilindros concêntricos muito longos (efeitos de extremidade desprezíveis),
  • condição de não deslizamento (no-slip) nas paredes: v_{z}(R_{i})=0 e v_{z}(R_{o})=0.

Passo 2

Simplificação da equação de Navier–Stokes na direção axial: vou mostrar passo a passo por que a equação fica simples.
  1. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) a componente axial da equação de Navier–Stokes, para fluido newtoniano e sem forças de corpo, é (forma geral):
\rho\left( v_r\frac{\partial v_z}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_z}{\partial\theta} + v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\right) = -\frac{dp}{dz} + \mu \left[ \nabla^2 v_z \right].
  1. Usando as hipóteses do enunciado:
  • escoamento totalmente desenvolvido e unidimensional axial: v_r=0,\\ v_\theta=0,\\ v_z=v_z(r). Logo todos os termos convectivos da esquerda são zeros.
  • regime permanente: nenhuma derivada temporal.
  • incompressível já garante continuidade, mas não precisamos dela explicitamente aqui.
  1. O operador laplaciano para a componente axial quando v_z=v_z(r) reduz-se a:
\nabla^2 v_z = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right),
pois não há variação em \theta nem em z.
  1. Assim, a equação axial simplificada fica:
0 = -\frac{dp}{dz} + \mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right).
Posso reescrever rearranjando:
\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right)=\frac{dp}{dz}.
Essa é a equação diferencial ordinária que vamos resolver. Aqui:
  • v_z(r) é a velocidade axial que queremos,
  • p(z) aparece apenas por seu gradiente \dfrac{dp}{dz} (constante conhecido),
  • \mu é a viscosidade dada.

Passo 3

Resolução da equação diferencial para obter v_{z}(r).
Parto de
\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right)=\frac{dp}{dz}.
Multiplico por r e divido por \mu:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right)=\frac{r}{\mu}\,\frac{dp}{dz}.
Integro uma vez em r:
r\frac{dv_z}{dr}=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^2}{2}+C_1,
onde C_1 é constante de integração.
Divido por r para obter \dfrac{dv_z}{dr}:
\frac{dv_z}{dr}=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r}{2}+\frac{C_1}{r}.
Integro novamente para v_z(r):
v_z(r)=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^2}{4}+C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.
Essa é a solução geral. Agora aplico as condições de contorno (no-slip):
v_z(R_i)=0,\qquad v_z(R_o)=0.
Substituindo:
0=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R_i^2}{4}+C_1\ln R_i + C_2,
0=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R_o^2}{4}+C_1\ln R_o + C_2.
Subtraindo a primeira da segunda:
0=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R_o^2-R_i^2}{4}+C_1\ln\!\left(\frac{R_o}{R_i}\right).
Daí isolamos C_1:
C_1=-\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R_o^2-R_i^2}{4\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}.
E C_2 pode ser obtido, por exemplo, da primeira condição:
C_2=-\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R_i^2}{4}-C_1\ln R_i.

Passo 4

Expressão final do perfil de velocidade v_z(r) em forma compacta (substituindo as constantes).
Colocando C_1 na solução geral e arrumando, uma forma prática é fatorar \dfrac{1}{4\mu}\dfrac{dp}{dz}:
v_z(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\left[r^2-R_i^2-\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}\ln\!\left(\dfrac{r}{R_i}\right)\right].
Observação sobre o sinal: \dfrac{dp}{dz} é negativo no problema dado ( -200\\ \mathrm{Pa/m}); isso faz com que v_z(r) seja positivo (escoamento no sentido de +z conforme convenção escolhida), pois o fator \dfrac{dp}{dz} aparece multiplicando a expressão entre colchetes.
Esse é o perfil de velocidade tipo Poiseuille para um anel (anelar), análogo ao perfil parabólico do tubo cheio, mas com o termo logarítmico que aparece por causa do segundo contorno interno.

Passo 5

Posição onde a velocidade é máxima.
Derivo v_z(r) e igualo a zero. Mais fácil usar a expressão já obtida para dv_z/dr:
\frac{dv_z}{dr}=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r}{2}+\frac{C_1}{r}.
A condição de máximo (estacionário) é \dfrac{dv_z}{dr}=0. Substituindo C_1 e isolando r dá:
\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^2}{2}+C_1=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2=-\frac{2\mu C_1}{\dfrac{dp}{dz}}.
Substituindo C_1=-\dfrac{1}{\mu}\dfrac{dp}{dz}\dfrac{R_o^2-R_i^2}{4\ln(R_o/R_i)} obtém-se (as \mu e \dfrac{dp}{dz} cancelam):
r_{\max}=\sqrt{\dfrac{R_o^2-R_i^2}{2\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}}.
Note que essa posição depende só das geometrias R_i,R_o e não do gradiente de pressão nem da viscosidade.
Agora calculo numericamente com R_i=0{,}01\\ \mathrm{m} e R_o=0{,}03\\ \mathrm{m}:
R_o^2-R_i^2 = (0{,}03)^2-(0{,}01)^2 = 9\times10^{-4}-1\times10^{-4}=8\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
\ln\!\left(\frac{R_o}{R_i}\right)=\ln(3)\approx1{,}098612.
r_{\max}=\sqrt{\dfrac{8\times10^{-4}}{2\times1{,}098612}} =\sqrt{3{,}6429\times10^{-4}} \approx1{,}9087\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=1{,}9087\\ \mathrm{cm}.
Ou seja r_{\max}\approx0{,}01909\\ \mathrm{m} (aprox. 1{,}91\\ \mathrm{cm}), que está entre R_i e R_o como esperado.

Passo 6

Cálculo da vazão volumétrica Q.
Definição:
Q=\int_{A} v_z\,dA=2\pi\int_{R_i}^{R_o} v_z(r)\,r\,dr.
Uso a expressão encontrada para v_z(r):
v_z(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\left[r^2-R_i^2-\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}\ln\!\left(\dfrac{r}{R_i}\right)\right].
Então
Q=2\pi\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\int_{R_i}^{R_o} \left[r^2-R_i^2-\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}\ln\!\left(\dfrac{r}{R_i}\right)\right] r\,dr.
Fazendo as integrais (mostro os passos essenciais):
  • \displaystyle \int_{R_i}^{R_o} r(r^2-R_i^2)\,dr=\frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{4}.
  • \displaystyle \int_{R_i}^{R_o} r\ln\!\left(\frac{r}{R_i}\right)\,dr =\left[\frac{r^2}{2}\ln\!\left(\frac{r}{R_i}\right)-\frac{r^2}{4}\right]_{R_i}^{R_o} =\frac{R_o^2}{2}\ln\!\left(\frac{R_o}{R_i}\right)-\frac{R_o^2-R_i^2}{4}.
Após simplificação algébrica chega-se à forma conhecida:
Q=-\frac{\pi}{8\mu}\frac{dp}{dz}\left[ R_o^4-R_i^4-\frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}\right].
Agora substituo os números:
  • R_o^2=(0{,}03)^2=9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
  • R_i^2=(0{,}01)^2=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
  • R_o^4-R_i^4=9{,}0\times10^{-4}^2-1{,}0\times10^{-4}^2=8{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m^4},
  • (R_o^2-R_i^2)^2=(8{,}0\times10^{-4})^2=6{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m^4},
  • \ln(R_o/R_i)=\ln 3\approx1{,}098612.
Calculo do termo entre colchetes:
R_o^4-R_i^4-\frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln(R_o/R_i)} =8{,}0\times10^{-7}-\frac{6{,}4\times10^{-7}}{1{,}098612} \approx8{,}0\times10^{-7}-5{,}826\times10^{-7} =2{,}174\times10^{-7}\\ \mathrm{m^4}.
Agora o coeficiente diante:
-\frac{\pi}{8\mu}\frac{dp}{dz} =-\frac{\pi}{8\times0{,}1}\times(-200) =\frac{\pi\times200}{0{,}8}=\pi\times250\approx785{,}398.
Portanto
Q\approx785{,}398\times2{,}174\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3/s} \approx1{,}707\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.
Em unidades mais familiares, Q\approx0{,}1707\\ \mathrm{L/s} (litros por segundo).

Resposta

a) \displaystyle \mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right)=\frac{dp}{dz}.
b) \displaystyle v_z(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\!\left[r^2-R_i^2-\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}\ln\!\left(\dfrac{r}{R_i}\right)\right].
c) \displaystyle r_{\max}=\sqrt{\dfrac{R_o^2-R_i^2}{2\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}}\approx0{,}01909\\ \mathrm{m}\\ \text{(≈1{,}91 cm).}
d) \displaystyle Q=-\frac{\pi}{8\mu}\frac{dp}{dz}\left[ R_o^4-R_i^4-\frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}\right]\approx1{,}707\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.

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