Um fluido newtoniano incompressível escoa em regime permanente através da região anular entre dois tubos cilíndricos concêntricos muito longos. Considere: escoamento permanente, incompressível e totalmente desenvolvido
Dados:
raio interno: R_{i}=1,0 \mathrm{~cm}
raio externo: R_{o}=3,0 \mathrm{~cm}
viscosidade: \mu=0,1 \mathrm{~Pa}.s
gradiente de pressão: \frac{d p}{d z}=-200 \mathrm{~Pa} / \mathrm{m}
a) Simplifique a equação de Navier-Stokes na direção axial.
b) Determine o perfil de velocidade v_{z}(r).
c) Determine a posição onde a velocidade é máxima.
d) Calcule a vazão volumétrica.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
raio interno: R_{i}=1{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m},
raio externo: R_{o}=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m},
gradiente de pressão (constante): \dfrac{dp}{dz}=-200\\ \mathrm{Pa/m}.
O enunciado pede:
a) Simplificar a equação de Navier–Stokes na direção axial para este escoamento.
b) Determinar o perfil de velocidade axial v_{z}(r) (função do raio r).
c) Determinar a posição r onde a velocidade é máxima.
d) Calcular a vazão volumétrica Q.
Condições implícitas importantes (já dadas no enunciado):
escoamento estacionário (permanente),
escoamento incompressível,
escoamento totalmente desenvolvido axialmente (ou seja, v_{z}=v_{z}(r) somente, sem dependência de z),
escoamento entre cilindros concêntricos muito longos (efeitos de extremidade desprezíveis),
condição de não deslizamento (no-slip) nas paredes: v_{z}(R_{i})=0 e v_{z}(R_{o})=0.
Passo 2
Simplificação da equação de Navier–Stokes na direção axial: vou mostrar passo a passo por que a equação fica simples.
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) a componente axial da equação de Navier–Stokes, para fluido newtoniano e sem forças de corpo, é (forma geral):
Observação sobre o sinal: \dfrac{dp}{dz} é negativo no problema dado (-200\\ \mathrm{Pa/m}); isso faz com que v_z(r) seja positivo (escoamento no sentido de +z conforme convenção escolhida), pois o fator \dfrac{dp}{dz} aparece multiplicando a expressão entre colchetes.
Esse é o perfil de velocidade tipo Poiseuille para um anel (anelar), análogo ao perfil parabólico do tubo cheio, mas com o termo logarítmico que aparece por causa do segundo contorno interno.
Passo 5
Posição onde a velocidade é máxima.
Derivo v_z(r) e igualo a zero. Mais fácil usar a expressão já obtida para dv_z/dr:
Em unidades mais familiares, Q\approx0{,}1707\\ \mathrm{L/s} (litros por segundo).
Resposta
a) \displaystyle \mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv_z}{dr}\right)=\frac{dp}{dz}.
b) \displaystyle v_z(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\!\left[r^2-R_i^2-\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}\ln\!\left(\dfrac{r}{R_i}\right)\right].
c) \displaystyle r_{\max}=\sqrt{\dfrac{R_o^2-R_i^2}{2\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}}\approx0{,}01909\\ \mathrm{m}\\ \text{(≈1{,}91 cm).}