2.8 A velocidade para um escoamento permanente incompressível no plano xy é dada por , em que \mathbf{A}=\mathbf{3 ~ m 2} / \mathrm{s} e as coordenadas são medidas em metros. Obtenha uma equação para a linha de corrente que passa pelo ponto (x, y)=(2,6). Calcule o tempo necessário para que uma partícula fluida se mova de \mathrm{x}=1 \mathrm{~m} até \mathrm{x}=3 \mathrm{~m} neste campo de escoamento.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Obter a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (x,y)=(2,6).
  • Calcular o tempo necessário para que uma partícula se mova de x=1\\ \mathrm{m} até x=3\\ \mathrm{m} nesse campo de escoamento.
Informações fornecidas no enunciado:
  • O escoamento é permanente (steady) e incompressível.
  • A constante \,A = 3\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • As coordenadas x,y estão em metros.
Informação faltante e essencial:
  • O enunciado não fornece explicitamente o campo de velocidade \mathbf{v}(x,y) = \big(u(x,y),\,v(x,y)\big). Sem as componentes u(x,y) e v(x,y) não é possível obter numericamente a linha de corrente nem calcular o tempo pedido. Por isso, não há como resolver numericamente o problema tal como está formulado.

Passo 2

O que é uma linha de corrente e como obtê-la (aula rápida e prática).
  • Definição intuitiva: uma linha de corrente (streamline) é uma curva no campo de velocidade cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele ponto. Em escoamento permanente, linhas de corrente coincidem com trajetórias instantâneas dos fluidos (pathlines), o que simplifica a interpretação.
  • Matemática: se \mathbf{v}(x,y)=\big(u(x,y),\,v(x,y)\big) então a equação implícita das linhas de corrente é dada pela equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=\frac{v(x,y)}{u(x,y)}.
  • Significado das variáveis: u(x,y) é a componente da velocidade na direção x (m/s) e v(x,y) é a componente na direção y (m/s). A razão v/u dá a inclinação da linha de corrente no plano.
  • Como proceder na prova: substituir as expressões de u e v na relação acima e resolver a EDO para y(x). A constante de integração é obtida impondo que a curva passe por (2,6).

Passo 3

Como calcular o tempo de trânsito entre x=1 e x=3 (aula passo a passo).
  • Equações paramétricas da partícula: em escoamento steady a trajetória de uma partícula satisfaz
\frac{dx}{dt}=u\big(x(t),y(t)\big),\qquad \frac{dy}{dt}=v\big(x(t),y(t)\big).
  • Se a linha de corrente foi obtida como y=y(x) e se, ao longo do trecho considerado, x varia monotonicamente no tempo (isto é, u não muda de sinal e não é zero no intervalo), então podemos escrever
dt=\frac{dx}{u\big(x,y(x)\big)}.
  • O tempo total para ir de x=1 até x=3 é então
t=\int_{x=1}^{x=3}\frac{dx}{u\big(x,y(x)\big)}.
  • Observações importantes para a prova:
    • Antes de usar essa fórmula, verifique se u(x,y(x))\neq 0 no intervalo; se u se anula, pode ser preciso parametrizar por y ou por arco s.
    • Se o movimento não for monotônico em x, então a integral acima não é válida diretamente; usa‑se a parametrização temporal por t e resolve-se o sistema \dfrac{dx}{dt}=u,\\ \dfrac{dy}{dt}=v com condições iniciais.

Passo 4

Exemplo concreto (ilustrando o procedimento) — atenção: é um exemplo didático, não a solução do enunciado porque o campo real não foi fornecido.
  • Suponha hipoteticamente que o campo fosse
\mathbf{v}(x,y)=A\left(\frac{x}{x^2+y^2},\;\frac{y}{x^2+y^2}\right),
com A dado (este campo é steady e, para r\neq0, tem divergência zero). Então:
  • Para as linhas de corrente resolvemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y/(x^2+y^2)}{x/(x^2+y^2)}=\frac{y}{x}.
  • Integrando: \dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x} \ln y=\ln x + C y=Cx. Impor que a linha passe por (2,6) 6=C\cdot 2 C=3. Logo a linha de corrente: y=3x.
  • Para o tempo, primeiro obtemos u ao longo da linha: substituindo y=3x em u,
u\big(x,y(x)\big)=A\frac{x}{x^2+(3x)^2}=A\frac{x}{10x^2}=\frac{A}{10x}.
  • Então
t=\int_{1}^{3}\frac{dx}{u(x,y(x))}=\int_{1}^{3}\frac{dx}{A/(10x)}=\frac{10}{A}\int_{1}^{3}x\,dx=\frac{10}{A}\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_{1}^{3}=\frac{5}{A}(9-1)=\frac{40}{A}.
  • Com A=3\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} obtém‑se t=\dfrac{40}{3}\\ \mathrm{s}\approx 13{,}33\\ \mathrm{s}.
  • Reforço: este cálculo serve para mostrar o método e como manipular as fórmulas; não é a resposta do exercício original, pois o campo usado aqui foi escolhido como exemplo.

Passo 5

Resumo prático sobre o que falta e o que fazer na prova/rápido checklist
  • Falta a expressão explícita de \mathbf{v}(x,y)=\big(u(x,y),v(x,y)\big). Sem isso não é possível:
    1. montar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v}{u} e integrar para achar a linha de corrente que passa por (2,6);
    2. obter u\big(x,y(x)\big) e calcular t=\int_{1}^{3}\dfrac{dx}{u(x,y(x))} para o tempo.
  • Se o enunciado que você tem na prova/guia possuir as componentes u e v, aplique exatamente os passos do Passo 2 e do Passo 3. Se quiser, cole aqui o campo de velocidade que está no seu enunciado e eu já resolvo passo a passo para aquele campo — mas sem a expressão eu não posso fornecer os valores numéricos pedidos.

Resposta

Não é possível obter a linha de corrente nem calcular o tempo porque o campo de velocidade \mathbf{v}(x,y)=\big(u(x,y),v(x,y)\big) não foi fornecido no enunciado.

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