(1.25) Suponha
uma função diferenciável e admita que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável e satisfaz
para todo
. O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para uma função composta de uma variável real
em duas variáveis
. Vamos usar essa regra e o fato de que o composto é constante para obter a relação entre as derivadas parciais de
.
Passo 2
Defina
Então a expressão
fica
. Aplicando a Regra da Cadeia para derivar em
, obtemos
Passo 3
Como
e
, a derivada do composto é
Mas sabemos que
é constante, logo sua derivada em
é zero:
Passo 4
Dividindo por
e reescrevendo
,
como
no enunciado, temos