(1.25) Suponha f uma função diferenciável e admita que f(3 x+1,3 x-1)=4. Mostre que
partial fpartial x(3 x+1,3 x-1)=-partial fpartial y(3 x+1,3 x-1)

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável e satisfaz
f(3x+1,,3x-1)=4
para todo x. O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para uma função composta de uma variável real x em duas variáveis (u,v). Vamos usar essa regra e o fato de que o composto é constante para obter a relação entre as derivadas parciais de f.

Passo 2

Defina
u(x)=3x+1, v(x)=3x-1
Então a expressão f(3x+1,3x-1) fica fl(u(x),v(x)r). Aplicando a Regra da Cadeia para derivar em x, obtemos
ddxfl(u(x),v(x)r) =partial fpartial u(u,v),dudx +partial fpartial v(u,v),dvdx

Passo 3

Como u'=3 e v'=3, a derivada do composto é
ddxfl(u(x),v(x)r) =3,partial fpartial u(u,v) +3,partial fpartial v(u,v)
Mas sabemos que f(3x+1,3x-1)=4 é constante, logo sua derivada em x é zero:
3l(partial fpartial u(u,v)+partial fpartial v(u,v)r)=0

Passo 4

Dividindo por 3 e reescrevendo u=3x+1, v=3x-1 como (x,y) no enunciado, temos
partial fpartial u(3x+1,3x-1) + partial fpartial v(3x+1,3x-1)=0 ;Longrightarrow; partial fpartial x(3x+1,3x-1) =-partial fpartial y(3x+1,3x-1)

Resposta

partial fpartial x(3x+1,3x-1) =-partial fpartial y(3x+1,3x-1)

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