Apresente dois contra-exemplos para mostrar que, em geral,
(f cdot g)^prime neq f^prime cdot g^prime

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por meio de dois exemplos, que a derivada do produto de duas funções
(fcdot g)'
não coincide em geral com o produto das derivadas
f'cdot g'
O conteúdo aqui é a regra do produto: para funções diferenciáveis f e g, vale
(fcdot g)' = f',g + f,g',
e não f',g'. Vamos escolher pares (f,g) simples e comparar (fcdot g)' com f',g'.

Passo 2

Primeiro contra-exemplo: seja
f(x)=x^2 e g(x)=x^3
Então
f(x),g(x)=x^2cdot x^3 = x^5
e por regra do produto (ou derivando diretamente) obtemos
(fcdot g)'(x) = ddxx^5 = 5x^4
Por outro lado,
f'(x)=2x, g'(x)=3x^2,
logo
f'(x),g'(x) = (2x),(3x^2) = 6x^3
Como
5x^4 neq 6x^3
para xneq0, concluímos que
(fcdot g)' neq f',g'

Passo 3

Segundo contra-exemplo: seja
f(x)=e^x e g(x)=e^x
Então
f(x),g(x)=e^xcdot e^x = e^2x
e
(fcdot g)'(x) = ddxe^2x = 2e^2x
Mas
f'(x)=e^x, g'(x)=e^x,
portanto
f'(x),g'(x) = e^xcdot e^x = e^2x
Como
2e^2x neq e^2x
para todo x, confirmamos mais uma vez que
(fcdot g)' neq f',g'

Resposta

Dois contra-exemplos são:
(a) f(x)=x^2,;g(x)=x^3:
(fcdot g)'(x)=5x^4, f'(x),g'(x)=6x^3,
logo são diferentes.
(b) f(x)=e^x,;g(x)=e^x:
(fcdot g)'(x)=2e^2x, f'(x),g'(x)=e^2x,
logo são diferentes.

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