2-25 Suponha que uma molécula seja representada por uma carga
na origem e cargas
em
e
.
a) Encontre o momento de dipolo da molécula.
b) Para
e o ângulo entre
e
é
. Se
, encontre a carga efetiva
.
a) Encontre o momento de dipolo da molécula.
b) Para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações fornecidas.
-
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar o momento de dipolo da molécula.
- (b) Para a molécula de
com dados numéricos, encontrar a carga efetiva .
-
Informações fornecidas:
- Há uma carga
na origem e duas cargas localizadas em e . -
. - Para
: . - Ângulo entre
e : . - Momento de dipolo medido:
.
- Há uma carga
Passo 2
Definição e ideia básica do momento de dipolo (lição rápida e direta).
- O momento de dipolo elétrico de um conjunto discreto de cargas é definido por
onde
é a
-ésima carga e
é o vetor posição dessa carga medido a partir da origem.
- Interpretação intuitiva: o momento de dipolo é um vetor que aponta, por convenção, da carga negativa para a positiva, e sua magnitude mede o “separação de carga” total.
Passo 3
Aplicando a definição ao sistema dado (montando a soma vetorial).
- As cargas são:
na origem , em e em . - A contribuição da carga na origem é zero porque
para essa carga. - Portanto, somando as contribuições restantes:
Isto responde a parte (a) na forma vetorial: o momento de dipolo é
vezes a soma vetorial das posições das duas cargas positivas.
Passo 4
Expressão da magnitude do momento de dipolo usando a geometria (mostrar como obter a forma escalar prática).
- Queremos uma forma explícita para a magnitude
. Como e o ângulo entre eles é , calculemos . - Use a identidade do produto escalar:
- Substituindo
e :
- Use a identidade trigonométrica útil:
. Assim
- Portanto
- Logo, a magnitude do momento de dipolo é
Essa é uma expressão escalar prática que relaciona
,
,
e
.
Passo 5
Isolando
a partir da expressão escalar (preparando para o cálculo numérico).
- Da expressão anterior temos
- Isolando
:
Esta é a fórmula que vamos usar para encontrar a carga efetiva em
.
Passo 6
Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo.
- Valores dados (colocados em forma matemática):
-
. -
. -
, então .
-
- Calcular
. - Usando valor numérico:
.
- Usando valor numérico:
- Calcular o denominador:
- Agora calcular
:
Passo 7
Converter para unidades de carga elementar e interpretar (opcional, ajuda na intuição).
- Carga elementar:
. - Em unidades de
:
- Interpretação: a carga efetiva
corresponde a cerca de vezes a carga elementar, ou seja, não é uma carga inteira mas uma fração efetiva resultante do deslocamento de densidade eletrônica na molécula.
Resposta
(a)
, e em magnitude
(b)
(b)