2-25 Suponha que uma molécula seja representada por uma carga -2 q na origem e cargas +q em l_{1} e l_{2}, \mathrm{com}\left|l_{1}\right|=\left|l_{2}\right|=l.
a) Encontre o momento de dipolo da molécula.
b) Para \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, l=0,958 \times 10^{-10} \mathrm{~m} e o ângulo entre l_{1} e l_{2} é \theta=105^{\circ}. Se p=6,14 \times 10^{-30} \mathrm{C} \cdot \mathrm{m}, encontre a carga efetiva q.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações fornecidas.
  • O enunciado pede duas coisas:
    • (a) Encontrar o momento de dipolo da molécula.
    • (b) Para a molécula de \mathrm{H}_2\mathrm{O} com dados numéricos, encontrar a carga efetiva q.
  • Informações fornecidas:
    • Há uma carga -2q na origem e duas cargas +q localizadas em \mathbf{l}_1 e \mathbf{l}_2.
    • \left|\mathbf{l}_1\right|=\left|\mathbf{l}_2\right|=l.
    • Para \mathrm{H}_2\mathrm{O}: l=0,958\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
    • Ângulo entre \mathbf{l}_1 e \mathbf{l}_2: \theta=105^\circ.
    • Momento de dipolo medido: p=6,14\times10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m}.

Passo 2

Definição e ideia básica do momento de dipolo (lição rápida e direta).
  • O momento de dipolo elétrico de um conjunto discreto de cargas é definido por
\mathbf{p}=\sum_i q_i\,\mathbf{r}_i,
onde q_i é a i-ésima carga e \mathbf{r}_i é o vetor posição dessa carga medido a partir da origem.
  • Interpretação intuitiva: o momento de dipolo é um vetor que aponta, por convenção, da carga negativa para a positiva, e sua magnitude mede o “separação de carga” total.

Passo 3

Aplicando a definição ao sistema dado (montando a soma vetorial).
  • As cargas são: -2q na origem (\mathbf{r}=\mathbf{0}), +q em \mathbf{l}_1 e +q em \mathbf{l}_2.
  • A contribuição da carga na origem é zero porque \mathbf{r}=\mathbf{0} para essa carga.
  • Portanto, somando as contribuições restantes:
\mathbf{p}=q\,\mathbf{l}_1 + q\,\mathbf{l}_2 = q\bigl(\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\bigr).
Isto responde a parte (a) na forma vetorial: o momento de dipolo é q vezes a soma vetorial das posições das duas cargas positivas.

Passo 4

Expressão da magnitude do momento de dipolo usando a geometria (mostrar como obter a forma escalar prática).
  • Queremos uma forma explícita para a magnitude \lvert\mathbf{p}\rvert. Como \lvert\mathbf{l}_1\rvert=\lvert\mathbf{l}_2\rvert=l e o ângulo entre eles é \theta, calculemos \lvert\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\rvert.
  • Use a identidade do produto escalar:
\lvert\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\rvert^2 = \lvert\mathbf{l}_1\rvert^2 + \lvert\mathbf{l}_2\rvert^2 + 2\,\mathbf{l}_1\cdot\mathbf{l}_2.
  • Substituindo \lvert\mathbf{l}_1\rvert=\lvert\mathbf{l}_2\rvert=l e \mathbf{l}_1\cdot\mathbf{l}_2 = l^2\cos\theta:
\lvert\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\rvert^2 = l^2 + l^2 + 2l^2\cos\theta = 2l^2(1+\cos\theta).
  • Use a identidade trigonométrica útil: 1+\cos\theta = 2\cos^2\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right). Assim
\lvert\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\rvert^2 = 4l^2\cos^2\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
  • Portanto
\lvert\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\rvert = 2l\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
  • Logo, a magnitude do momento de dipolo é
\lvert\mathbf{p}\rvert = q\,\lvert\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\rvert = q\cdot 2l\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
Essa é uma expressão escalar prática que relaciona p, q, l e \theta.

Passo 5

Isolando q a partir da expressão escalar (preparando para o cálculo numérico).
  • Da expressão anterior temos
p = \lvert\mathbf{p}\rvert = 2q\,l\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
  • Isolando q:
q = \dfrac{p}{2l\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}.
Esta é a fórmula que vamos usar para encontrar a carga efetiva em \mathrm{H}_2\mathrm{O}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo.
  • Valores dados (colocados em forma matemática):
    • p = 6,14\times10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m}.
    • l = 0,958\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
    • \theta = 105^\circ, então \dfrac{\theta}{2} = 52{,}5^\circ.
  • Calcular \cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\cos(52{,}5^\circ).
    • Usando valor numérico: \cos(52{,}5^\circ)\approx 0,608761.
  • Calcular o denominador:
2l\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=2\cdot\bigl(0,958\times10^{-10}\\ \mathrm{m}\bigr)\cdot0,608761 \approx 1,1666\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Agora calcular q:
q = \dfrac{6,14\times10^{-30}}{1,1666\times10^{-10}}\\ \mathrm{C} \approx 5,26\times10^{-20}\\ \mathrm{C}.

Passo 7

Converter para unidades de carga elementar e interpretar (opcional, ajuda na intuição).
  • Carga elementar: e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Em unidades de e:
\dfrac{q}{e} \approx \dfrac{5,26\times10^{-20}}{1,602\times10^{-19}} \approx 0,329.
  • Interpretação: a carga efetiva q corresponde a cerca de 0,33 vezes a carga elementar, ou seja, não é uma carga inteira +1e mas uma fração efetiva resultante do deslocamento de densidade eletrônica na molécula.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{p}=q\bigl(\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\bigr), e em magnitude \displaystyle p=2q\,l\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
(b) \displaystyle q\approx 5,26\times10^{-20}\\ \mathrm{C}\\ (\approx0,329\,e)

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