Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+9 y=0)
(y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+9 y=0)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral dessa equação. Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve
, sua primeira derivada e sua segunda derivada . - É uma equação homogênea (lado direito igual a zero).
- Queremos a família de todas as funções
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Decidimos procurar soluções da forma exponencial
. Por que isso? Porque, para equações lineares com coeficientes constantes (como a dada), substituições
transformam as derivadas em potências de
multiplicando a exponencial, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica em
. Essa técnica é prática na prova e é a maneira direta de obter a solução geral quando funciona.
Passo 3
Vamos aplicar
. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação dada obtemos:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e ficar apenas com uma equação polinomial em
:
Essa equação chama-se equação característica associada à equação diferencial.
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula quadrática. A fórmula diz que as raízes de
são
onde
,
,
são os coeficientes do polinômio. Aqui temos
,
,
. Primeiro calculamos o discriminante:
Passo 5
Aplicando a fórmula com
:
Como
, podemos escrever as raízes explicitamente:
São duas raízes reais e distintas.
Passo 6
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se houvesse). Essas duas exponenciais são linearmente independentes, por isso geram a família completa de soluções da equação de segunda ordem.
Passo 7
Substituição rápida para conferir: cada termo
gera, ao ser substituído na equação original, um fator multiplicativo
que é zero porque
é raiz da característica; assim cada termo satisfaz a equação, e qualquer combinação linear também satisfaz (pela linearidade da equação). Portanto a solução escrita está correta.