Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+9 y=0)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 9y' + 9y = 0
e pede a solução geral dessa equação. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve y, sua primeira derivada y' e sua segunda derivada y''.
  • É uma equação homogênea (lado direito igual a zero).
  • Queremos a família de todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Decidimos procurar soluções da forma exponencial y(x)=e^{rx}. Por que isso? Porque, para equações lineares com coeficientes constantes (como a dada), substituições y=e^{rx} transformam as derivadas em potências de r multiplicando a exponencial, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica em r. Essa técnica é prática na prova e é a maneira direta de obter a solução geral quando funciona.

Passo 3

Vamos aplicar y(x)=e^{rx}. Calculamos as derivadas:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação dada obtemos:
r^2 e^{rx} - 9 r e^{rx} + 9 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e ficar apenas com uma equação polinomial em r:
r^2 - 9r + 9 = 0.
Essa equação chama-se equação característica associada à equação diferencial.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática \;r^2 - 9r + 9 = 0\; usando a fórmula quadrática. A fórmula diz que as raízes de \;ar^2+br+c=0\; são
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes do polinômio. Aqui temos a=1, b=-9, c=9. Primeiro calculamos o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4\cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45.

Passo 5

Aplicando a fórmula com \Delta=45:
r = \frac{-(-9) \pm \sqrt{45}}{2\cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2}.
Como \sqrt{45}=3\sqrt{5}, podemos escrever as raízes explicitamente:
r_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2},\qquad r_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}.
São duas raízes reais e distintas.

Passo 6

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se houvesse). Essas duas exponenciais são linearmente independentes, por isso geram a família completa de soluções da equação de segunda ordem.

Passo 7

Substituição rápida para conferir: cada termo e^{r_i x} gera, ao ser substituído na equação original, um fator multiplicativo r_i^2 - 9r_i + 9 que é zero porque r_i é raiz da característica; assim cada termo satisfaz a equação, e qualquer combinação linear também satisfaz (pela linearidade da equação). Portanto a solução escrita está correta.

Resposta

y(x)=C_{1}\exp\!\left(\frac{9+3\sqrt{5}}{2}x\right)+C_{2}\exp\!\left(\frac{9-3\sqrt{5}}{2}x\right)

Exercícios relacionados