25-1 - VIBRAÇÕES - AVALIAÇÃO 3

Determine a resposta à vibração forçada de um sistema sem amortecimento com três graus de liberdade com as equações de movimento:
10\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] \ddot{\vec{x}}(t)+20\left[\begin{array}{rrr}7 & -3 & 0 \\\\ -3 & 5 & -2 \\\\ 0 & -2 & 2\end{array}\right] \vec{x}(t)=\left\{\begin{array}{l}5 \cos 2 t \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right\}
Considere as condições iniciais iguais a zero.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de três graus de liberdade sem amortecimento, com matrizes de massa
M = \mathrm{diag}(1,2,3)
e de rigidez efetiva
2K = 20\begin{pmatrix}7 & -3 & 0\\\\ -3 & 5 & -2\\\\ 0 & -2 & 2\end{pmatrix}\bigg/10 = 2\begin{pmatrix}7 & -3 & 0\\\\ -3 & 5 & -2\\\\ 0 & -2 & 2\end{pmatrix}.
A excitação é
\vec F(t)=\begin{pmatrix}0{,}5\cos(2t)\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
obtida de 5\cos2t dividido por 10. Como as condições iniciais são nulas, buscamos a resposta forçada em regime permanente, isto é, a solução particular \vec x_p(t).

Passo 2

Na vibração forçada sem amortecimento, procuramos uma solução da forma
\vec x_p(t) = \vec X\cos(2t),
onde \vec X é o vetor de amplitudes constante. Substituindo em
M\,\ddot{\vec x}+2K\,\vec x = \vec F(t)
e usando \ddot{\vec x}_p = -4\,\vec X\cos(2t), chegamos ao sistema algébrico
\bigl(2K - 4M\bigr)\,\vec X = \vec F_0,
com \vec F_0=(0{,}5,0,0)^\mathsf{T}.

Passo 3

Calculemos a matriz de rigidez dinâmica
D = 2K - 4M = 2\begin{pmatrix}7 & -3 & 0\\\\ -3 & 5 & -2\\\\ 0 & -2 & 2\end{pmatrix} -4\begin{pmatrix}1 &0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10 & -6 & 0\\\ -6 & 2 & -4\\\ 0 & -4 & -8\end{pmatrix}.

Passo 4

Devemos resolver
\begin{pmatrix}10 & -6 & 0\\\ -6 & 2 & -4\\\ 0 & -4 & -8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X_1\X_2\X_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da terceira equação vem -4X_2-8X_3=0\Rightarrow X_2=-2X_3.
Da segunda: -6X_1+2X_2-4X_3=0 leva a -6X_1-8X_3=0\Rightarrow X_1=-\tfrac{4}{3}X_3.
Na primeira:
10X_1-6X_2=0{,}5 \;\Longrightarrow\; 10\Bigl(-\tfrac{4}{3}X_3\Bigr)-6\bigl(-2X_3\bigr) = -\tfrac{40}{3}X_3 +12X_3 = -\tfrac{4}{3}X_3 = 0{,}5,
logo X_3=-\tfrac{3}{8}=-0{,}375. Assim
X_1 = -\tfrac{4}{3}(-0{,}375)=0{,}5, \quad X_2 = -2(-0{,}375)=0{,}75.

Resposta

A solução particular (resposta forçada) é
\boxed{ \vec x_p(t) = \begin{pmatrix}0{,}5\\\ 0{,}75\\\ -0{,}375\end{pmatrix} \cos(2t). }

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