Determine a resposta à vibração forçada de um sistema sem amortecimento com três graus de liberdade com as equações de movimento: 10\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] \ddot{\vec{x}}(t)+20\left[\begin{array}{rrr}7 & -3 & 0 \\\\ -3 & 5 & -2 \\\\ 0 & -2 & 2\end{array}\right] \vec{x}(t)=\left\{\begin{array}{l}5 \cos 2 t \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right\}
Considere as condições iniciais iguais a zero.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema de três graus de liberdade sem amortecimento, com matrizes de massa
obtida de 5\cos2t dividido por 10. Como as condições iniciais são nulas, buscamos a resposta forçada em regime permanente, isto é, a solução particular \vec x_p(t).
Passo 2
Na vibração forçada sem amortecimento, procuramos uma solução da forma
\vec x_p(t) = \vec X\cos(2t),
onde \vec X é o vetor de amplitudes constante. Substituindo em
M\,\ddot{\vec x}+2K\,\vec x = \vec F(t)
e usando \ddot{\vec x}_p = -4\,\vec X\cos(2t), chegamos ao sistema algébrico
Da terceira equação vem -4X_2-8X_3=0\Rightarrow X_2=-2X_3.
Da segunda: -6X_1+2X_2-4X_3=0 leva a -6X_1-8X_3=0\Rightarrow X_1=-\tfrac{4}{3}X_3.
Na primeira: