Questão 2
A deformação normal da barra é dada por e(x)=k \sin \frac{\pi x}{L}, onde k é uma constante. Determine o deslocamento em C e a deformação normal média da barra.

Passo 1

O enunciado dá a deformação normal da barra como
e(x)=k\sin\frac{\pi x}{L},
e pede o deslocamento em C (que vamos assumir em x=L) e a deformação normal média. O conteúdo principal é a relação entre deslocamento e deformação, dada por
e(x)=\frac{du}{dx},
e a definição de deformação média
\bar e=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}e(x)\,dx.

Passo 2

Para achar o campo de deslocamento u(x), integramos
\frac{du}{dx}=e(x)=k\sin\frac{\pi x}{L}
supondo u(0)=0. Assim,
u(x)=\int_{0}^{x}k\sin\frac{\pi s}{L}\,ds =k\left[-\frac{L}{\pi}\cos\frac{\pi s}{L}\right]_{0}^{x} =\frac{kL}{\pi}\Bigl(1-\cos\frac{\pi x}{L}\Bigr).

Passo 3

O deslocamento em C ( x=L) fica
u(L)=\frac{kL}{\pi}\Bigl(1-\cos\pi\Bigr) =\frac{kL}{\pi}(1-(-1)) =\frac{2kL}{\pi}.

Passo 4

A deformação normal média é
\bar e=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}k\sin\frac{\pi x}{L}\,dx =\frac{k}{L}\cdot\frac{2L}{\pi} =\frac{2k}{\pi}.

Resposta

O deslocamento em C é
u\text{(C)}=u(L)=\frac{2kL}{\pi}
e a deformação normal média é
\bar e=\frac{2k}{\pi}.

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