Dado um triângulo de base b e altura h, determine seu momento de inércia em relação à sua base.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de área (também chamado de segundo momento de área) de um triângulo de base b e altura h em relação ao eixo que coincide com sua base. Para resolver, vamos usar a definição
I = \int y^2 \, dA,
onde y é a distância de um elemento de área dA ao eixo da base, e integrar sobre toda a área do triângulo.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o eixo x está ao longo da base (em y=0) e o vértice oposto à base está em y=h. Para cada altura y (medida a partir da base), a largura do triângulo vale proporcionalmente
\text{largura}(y) = b\Bigl(1 - \frac{y}{h}\Bigr),
pois no topo ( y=h) a largura é zero e na base ( y=0) é b. Um elemento de área é então
dA = \text{largura}(y)\,dy = b\Bigl(1 - \frac{y}{h}\Bigr) dy.

Passo 3

Substituímos dA e y na definição do momento de inércia:
I = \int_{0}^{h} y^2 \biggl[b\Bigl(1 - \frac{y}{h}\Bigr)\biggr] dy = b \int_{0}^{h} \Bigl(y^2 - \frac{y^3}{h}\Bigr) dy.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{0}^{h} y^2\,dy = \frac{h^3}{3}, \quad \int_{0}^{h} \frac{y^3}{h}\,dy = \frac{1}{h}\cdot\frac{h^4}{4} = \frac{h^3}{4}.
Logo,
I = b\Bigl(\frac{h^3}{3} - \frac{h^3}{4}\Bigr) = b\,\frac{h^3}{12}.

Resposta

I = \frac{b\,h^3}{12}.

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