Determine o momento de inércia polar centroidal de uma superfície circular por integração direta e, usando esse resultado, determine o momento de inércia de uma superfície circular em relação a um diâmetro.
Passo 1
Temos uma lâmina circular de raio
e densidade superficial uniforme
. Queremos calcular por integração direta o momento polar de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da lâmina que passa pelo centro (eixo
), ou seja,
e em seguida, usando esse resultado e o teorema dos eixos perpendiculares, obter o momento de inércia em relação a um diâmetro (eixo
ou
).
Passo 2
Para integrar em coordenadas polares, tomamos
como distância ao centro e
o ângulo. Nesse sistema vale
e o integrando do momento polar é
. Logo o elemento de contribuição é
Passo 3
Montamos a integral dupla sobre
e
:
Passo 4
O teorema dos eixos perpendiculares em uma lâmina plana diz que, para eixos
e
no plano passando pelo centro,
Pela simetria
, logo
Resposta
Momento polar centroidal da lâmina circular:
Momento de inércia em relação a qualquer diâmetro: