Determine o momento de inércia polar centroidal de uma superfície circular por integração direta e, usando esse resultado, determine o momento de inércia de uma superfície circular em relação a um diâmetro.

Passo 1

Temos uma lâmina circular de raio R e densidade superficial uniforme \rho. Queremos calcular por integração direta o momento polar de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da lâmina que passa pelo centro (eixo z), ou seja,
J_{O} \;=\;\iint_{A} r^{2}\,dA
e em seguida, usando esse resultado e o teorema dos eixos perpendiculares, obter o momento de inércia em relação a um diâmetro (eixo x ou y).

Passo 2

Para integrar em coordenadas polares, tomamos r como distância ao centro e \theta o ângulo. Nesse sistema vale
dA \;=\; r\,dr\,d\theta
e o integrando do momento polar é r^{2}. Logo o elemento de contribuição é
r^{2}\,dA \;=\; r^{2}\,(r\,dr\,d\theta)\;=\;r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 3

Montamos a integral dupla sobre \theta\in[0,2\pi] e r\in[0,R]:
J_{O} =\rho\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}r^{3}\,dr\,d\theta =\rho\int_{0}^{2\pi}\Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{R}d\theta =\rho\int_{0}^{2\pi}\frac{R^{4}}{4}\,d\theta =\rho\cdot\frac{R^{4}}{4}\cdot2\pi =\rho\,\frac{\pi R^{4}}{2}.

Passo 4

O teorema dos eixos perpendiculares em uma lâmina plana diz que, para eixos x e y no plano passando pelo centro,
I_{x}+I_{y}=J_{O}.
Pela simetria I_{x}=I_{y}, logo
2I_{x}=J_{O} \quad\Longrightarrow\quad I_{x}=\frac{J_{O}}{2} =\rho\,\frac{\pi R^{4}}{4}.

Resposta

Momento polar centroidal da lâmina circular:
J_{O}=\rho\,\frac{\pi R^{4}}{2}.
Momento de inércia em relação a qualquer diâmetro:
I_{\text{diâmetro}}=I_{x} =\rho\,\frac{\pi R^{4}}{4}.â

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