26.19 Um bastão cilíndrico de grafite (carbono sólido puro, densidade
), de comprimento igual a 25 cm e diâmetro inicial igual a
, é inserido em uma corrente de ar escoando a 1100 K e pressão total de
gás em escoamento cria, em torno da superfície externa no bastão, uma camada-limite de gás estagnado, com
de espessura. Nessa temperatura elevada, o carbono sólido se oxida a dióxido de carbono gasoso,
, gás, de acordo com a reação
. Essa reação de oxidação na superfície é limitada pela difusão molecular do
através do filme gasoso estagnado que envolve a superfície do bastão; logo, a concentração de
na superfície do grafite é efetivamente zero. Na região externa do filme gasoso, a composição no seio da corrente gasosa é igual à do ar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e qual é a(s) pergunta(s) que vou resolver (o enunciado enviado não trouxe uma pergunta explícita; vou assumir as perguntas mais comuns para este tipo de problema). Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado enviado):
- densidade do grafite:
. - comprimento do bastão:
. - diâmetro inicial:
(logo raio ). - temperatura do escoamento:
. - pressão total do escoamento:
. - espessura da camada-limite estagnada:
. - reação na superfície:
e a concentração de na superfície é efetivamente zero (limitação por difusão). - composição externa igual à do ar (assumo fração molar de
no ar ).
Perguntas que vou resolver (assunção feita porque o enunciado não especificou):
(a) taxa molar de transporte de por unidade de área até a superfície (fluxo molar
, em
);
(b) taxa de perda de massa de carbono (em
e
);
(c) tempo aproximado até o bastão ser consumido completamente (em horas).
(a) taxa molar de transporte de
(b) taxa de perda de massa de carbono
(c) tempo aproximado até o bastão ser consumido completamente (em horas).
Observação importante: o enunciado não fornece o coeficiente de difusão molecular
do
no ar a
. Vou estimar
usando um valor típico à temperatura ambiente e fazer escala de temperatura/pressão (explicarei e mostrarei a sensibilidade das respostas a essa estimativa).
Passo 2
Modelo físico e equação básica (aula rápida, sem pular etapas).
- A reação é controlada por difusão através do filme gasoso estagnado de espessura
. Em regime estacionário e assumindo gradiente aproximadamente linear no filme, a lei de Fick reduzida dá o fluxo molar (módulo) de :
onde:
-
é o fluxo molar de (unidade ); -
é o coeficiente de difusão molecular do no ar (unidade ); -
é a concentração molar de no seio da corrente (bulk), em ; -
é a concentração na superfície; como a reação é limitante por difusão, ; -
é a espessura do filme (em ).
Portanto, com
,
Explicação sobre conversão de
para perda de massa de carbono:
- Pela estequiometria da reação, cada mol de
consumido consome mol de C (1:1). Logo a taxa molar de consumo de C é igual à taxa molar de chegada de : , onde é a área externa do cilindro (somente superfície lateral, desprezando as extremidades). - A taxa de perda de massa de C é
, onde é a massa molar do carbono. - A área lateral do cilindro é
.
Passo 3
Calcular
, a concentração molar de
no escoamento, usando a lei dos gases ideais.
- pressão parcial de
:
- converter para pascal:
, então
- lei dos gases ideais para concentração molar:
com
e
. Logo
Comentário amigável: isso significa que o ar aqui, apesar da pressão alta, tem uma concentração de
relativamente baixa em comparação com líquidos — por isso a difusão importa.
Passo 4
Estimativa do coeficiente de difusão
(porque o enunciado não deu esse número).
- Um valor típico para
a e é cerca de . - A dependência aproximada de
com temperatura e pressão para gases é . Assim:
onde tomo
,
,
,
.
- Calcular o fator:
- Assim
Aviso didático: essa é uma estimativa razoável, mas o resultado final depende linearmente de
. Se o problema original der um
diferente, basta substituir no passo que segue.
Passo 5
Calcular o fluxo molar
usando
.
- converter
: . - usar
e :
Interpretação: cada metro quadrado da superfície recebe cerca de
mol de
por segundo.
Passo 6
Calcular a área lateral do cilindro
e a taxa molar total
.
- raio
, comprimento . - área lateral:
- taxa molar de
(igual à de C consumido, molarmente):
Passo 7
Converter
para perda de massa de carbono
.
- massa molar do carbono:
. - taxa de perda de massa:
- em
:
Comentário prático: isso é
, ou
.
Passo 8
Calcular a massa inicial do bastão e o tempo até ser consumido.
- volume do cilindro:
- densidade dada
. - massa inicial:
- tempo até consumo completo (assumindo perda uniforme e que reação continua até consumir todo o carbono):
Observação importante: esse tempo é aproximadamente
horas com a estimativa de
usada. Se
fosse, por exemplo, 2 vezes maior, o tempo seria metade; se
for menor, o tempo aumenta linearmente.
Passo 9
Resumo da dependência e fórmula geral (para trocar
facilmente).
- fórmula direta para o fluxo:
- fórmula para a taxa de perda de massa:
- fórmula para o tempo:
Assim, se for fornecido um
diferente basta substituir.
Resposta
Observação final e encorajamento: como o enunciado não deu o coeficiente de difusão
, usei uma estimativa física razoável. Se tiver o valor de
exato (ou se o professor forneceu um número em aula), envie-o que eu troco os cálculos rapidamente — a estrutura está pronta e é só substituir
. Você já tem aqui as fórmulas e o passo a passo para aplicar na prova; vai dar certo, respira e vamos em frente!