26.19 Um bastão cilíndrico de grafite (carbono sólido puro, densidade 2,25 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ), de comprimento igual a 25 cm e diâmetro inicial igual a 2,0 \mathrm{~cm}, é inserido em uma corrente de ar escoando a 1100 K e pressão total de 2,0 \mathrm{~atm} . \mathrm{O} gás em escoamento cria, em torno da superfície externa no bastão, uma camada-limite de gás estagnado, com 5,0 \mathrm{~mm} de espessura. Nessa temperatura elevada, o carbono sólido se oxida a dióxido de carbono gasoso, \mathrm{CO}_{2}, gás, de acordo com a reação \mathrm{C}(\mathrm{s})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g}). Essa reação de oxidação na superfície é limitada pela difusão molecular do \mathrm{O}_{2} através do filme gasoso estagnado que envolve a superfície do bastão; logo, a concentração de \mathrm{O}_{2} na superfície do grafite é efetivamente zero. Na região externa do filme gasoso, a composição no seio da corrente gasosa é igual à do ar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e qual é a(s) pergunta(s) que vou resolver (o enunciado enviado não trouxe uma pergunta explícita; vou assumir as perguntas mais comuns para este tipo de problema). Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado enviado):
  • densidade do grafite: \rho=2,25\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • comprimento do bastão: L=25\\ \mathrm{cm}.
  • diâmetro inicial: D=2{,}0\\ \mathrm{cm} (logo raio r=1{,}0\\ \mathrm{cm}).
  • temperatura do escoamento: T=1100\\ \mathrm{K}.
  • pressão total do escoamento: p_{\text{total}}=2{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • espessura da camada-limite estagnada: \delta=5{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • reação na superfície: \mathrm{C}(\mathrm{s})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{g})\to\mathrm{CO}_{2}(\mathrm{g}) e a concentração de \mathrm{O}_{2} na superfície é efetivamente zero (limitação por difusão).
  • composição externa igual à do ar (assumo fração molar de \mathrm{O}_{2} no ar y_{O_2}=0{,}21).
Perguntas que vou resolver (assunção feita porque o enunciado não especificou):
(a) taxa molar de transporte de \mathrm{O}_{2} por unidade de área até a superfície (fluxo molar j, em \mathrm{mol/(m^{2}\,s)});
(b) taxa de perda de massa de carbono \dot{m}_C (em \mathrm{g/s} e \mathrm{g/h});
(c) tempo aproximado até o bastão ser consumido completamente (em horas).
Observação importante: o enunciado não fornece o coeficiente de difusão molecular D do \mathrm{O}_2 no ar a 1100\\ \mathrm{K}. Vou estimar D usando um valor típico à temperatura ambiente e fazer escala de temperatura/pressão (explicarei e mostrarei a sensibilidade das respostas a essa estimativa).

Passo 2

Modelo físico e equação básica (aula rápida, sem pular etapas).
  • A reação é controlada por difusão através do filme gasoso estagnado de espessura \delta. Em regime estacionário e assumindo gradiente aproximadamente linear no filme, a lei de Fick reduzida dá o fluxo molar (módulo) de \mathrm{O}_2:
j = D\;\frac{C_{\infty}-C_{s}}{\delta},
onde:
  • j é o fluxo molar de \mathrm{O}_2 (unidade \mathrm{mol/(m^{2}\,s)});
  • D é o coeficiente de difusão molecular do \mathrm{O}_2 no ar (unidade \mathrm{m^{2}/s});
  • C_{\infty} é a concentração molar de \mathrm{O}_2 no seio da corrente (bulk), em \mathrm{mol/m^{3}};
  • C_{s} é a concentração na superfície; como a reação é limitante por difusão, C_{s}\simeq0;
  • \delta é a espessura do filme (em \mathrm{m}).
Portanto, com C_s=0,
j = D\,\frac{C_{\infty}}{\delta}.
Explicação sobre conversão de j para perda de massa de carbono:
  • Pela estequiometria da reação, cada mol de \mathrm{O}_2 consumido consome 1 mol de C (1:1). Logo a taxa molar de consumo de C é igual à taxa molar de chegada de \mathrm{O}_2: \dot{n}_C = j A, onde A é a área externa do cilindro (somente superfície lateral, desprezando as extremidades).
  • A taxa de perda de massa de C é \dot{m}_C = \dot{n}_C M_C, onde M_C=12{,}01\\ \mathrm{g/mol} é a massa molar do carbono.
  • A área lateral do cilindro é A=2\pi r L.

Passo 3

Calcular C_{\infty}, a concentração molar de \mathrm{O}_2 no escoamento, usando a lei dos gases ideais.
  • pressão parcial de \mathrm{O}_2:
p_{O_2}=y_{O_2}\,p_{\text{total}}=0{,}21\times2{,}0\\ \mathrm{atm}=0{,}42\\ \mathrm{atm}.
  • converter para pascal: 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}, então
p_{O_2}=0{,}42\times101325=42556{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • lei dos gases ideais para concentração molar:
C_{\infty}=\frac{p_{O_2}}{R\,T},
com R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)} e T=1100\\ \mathrm{K}. Logo
C_{\infty}=\frac{42556{,}5}{8{,}314\times1100} =\frac{42556{,}5}{9145{,}4}\approx4{,}657\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Comentário amigável: isso significa que o ar aqui, apesar da pressão alta, tem uma concentração de \mathrm{O}_2 relativamente baixa em comparação com líquidos — por isso a difusão importa.

Passo 4

Estimativa do coeficiente de difusão D (porque o enunciado não deu esse número).
  • Um valor típico para D_{\mathrm{O}_2\text{ em ar}} a 300\\ \mathrm{K} e 1\\ \mathrm{atm} é cerca de D_0\approx2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • A dependência aproximada de D com temperatura e pressão para gases é D\propto T^{3/2}/p. Assim:
D \approx D_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{p_0}{p},
onde tomo T_0=300\\ \mathrm{K}, p_0=1\\ \mathrm{atm}, T=1100\\ \mathrm{K}, p=2{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Calcular o fator:
\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}=\left(\frac{1100}{300}\right)^{3/2}\approx(3{,}6667)^{1{,}5}\approx7{,}02.
  • Assim
D\approx 2{,}0\times10^{-5}\times7{,}02\times\frac{1}{2{,}0} \approx7{,}02\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Aviso didático: essa é uma estimativa razoável, mas o resultado final depende linearmente de D. Se o problema original der um D diferente, basta substituir no passo que segue.

Passo 5

Calcular o fluxo molar j usando j=D\,C_{\infty}/\delta.
  • converter \delta: \delta=5{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • usar D\approx7{,}02\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s} e C_{\infty}\approx4{,}657\\ \mathrm{mol/m^{3}}:
j = \frac{7{,}02\times10^{-5}\times4{,}657}{0{,}005} \approx0{,}06539\\ \mathrm{mol/(m^{2}\,s)}.
Interpretação: cada metro quadrado da superfície recebe cerca de 0{,}065 mol de \mathrm{O}_2 por segundo.

Passo 6

Calcular a área lateral do cilindro A e a taxa molar total \dot{n}.
  • raio r=1{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}, comprimento L=25\\ \mathrm{cm}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • área lateral:
A=2\pi r L=2\pi\times0{,}01\times0{,}25=0{,}005\pi\approx0{,}015708\\ \mathrm{m^{2}}.
  • taxa molar de \mathrm{O}_2 (igual à de C consumido, molarmente):
\dot{n}=jA\approx0{,}06539\times0{,}015708\approx0{,}001027\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 7

Converter \dot{n} para perda de massa de carbono \dot{m}_C.
  • massa molar do carbono: M_C=12{,}01\\ \mathrm{g/mol}.
  • taxa de perda de massa:
\dot{m}_C=\dot{n}\,M_C\approx0{,}001027\times12{,}01\approx0{,}01233\\ \mathrm{g/s}.
  • em \mathrm{g/h}:
\dot{m}_C\\ (\mathrm{g/h})=0{,}01233\times3600\approx44{,}39\\ \mathrm{g/h}.
Comentário prático: isso é \approx0{,}0444\\ \mathrm{kg/h}, ou 4{,}44\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 8

Calcular a massa inicial do bastão e o tempo até ser consumido.
  • volume do cilindro:
V=\pi r^{2}L=\pi\times(0{,}01)^{2}\times0{,}25=\pi\times2{,}5\times10^{-5}\approx7{,}85398\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • densidade dada \rho=2{,}25\\ \mathrm{g/cm^{3}}=2250\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • massa inicial:
m_0=\rho V=2250\times7{,}85398\times10^{-5}\approx0{,}176715\\ \mathrm{kg}=176{,}715\\ \mathrm{g}.
  • tempo até consumo completo (assumindo perda uniforme e que reação continua até consumir todo o carbono):
t=\frac{m_0}{\dot{m}_C}=\frac{176{,}715\\ \mathrm{g}}{0{,}01233\\ \mathrm{g/s}}\approx14334\\ \mathrm{s}\approx3{,}98\\ \mathrm{h}.
Observação importante: esse tempo é aproximadamente 4{,}0 horas com a estimativa de D usada. Se D fosse, por exemplo, 2 vezes maior, o tempo seria metade; se D for menor, o tempo aumenta linearmente.

Passo 9

Resumo da dependência e fórmula geral (para trocar D facilmente).
  • fórmula direta para o fluxo:
j=\frac{D\,p_{O_2}}{R\,T\,\delta}.
  • fórmula para a taxa de perda de massa:
\dot{m}_C = j A M_C = \frac{D\,p_{O_2}}{R\,T\,\delta}\;A\;M_C.
  • fórmula para o tempo:
t=\frac{m_0}{\dot{m}_C}=\frac{m_0 R T \,\delta}{D\,p_{O_2}\,A\,M_C}.
Assim, se for fornecido um D diferente basta substituir.

Resposta

j\approx0{,}0654\\ \mathrm{mol/(m^{2}\,s)}\n
\dot{m}_C\approx0{,}01233\\ \mathrm{g/s}\approx44{,}39\\ \mathrm{g/h}\n
t\approx3{,}98\\ \mathrm{h}
Observação final e encorajamento: como o enunciado não deu o coeficiente de difusão D, usei uma estimativa física razoável. Se tiver o valor de D exato (ou se o professor forneceu um número em aula), envie-o que eu troco os cálculos rapidamente — a estrutura está pronta e é só substituir D. Você já tem aqui as fórmulas e o passo a passo para aplicar na prova; vai dar certo, respira e vamos em frente!

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