Determine a media total da emissividade hemisférica e a potencia emissiva de uma superfície que tenha uma emissividade hemisférica espectral de 0,6 com comprimentos de onda menores que 1,5 \mu m, 0,8 \mathrm{em} comprimentos de onda de 1,5 a 2,5 \mu m, e 0,4 \mathrm{em} comprimentos de onda maiores que 2,5 \mu \mathrm{~m}. A temperatura da superfície é de 1300 K .(\mathbf{2}, \mathbf{5})

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a média total da emissividade hemisférica da superfície dada a emissividade espectral em três faixas de comprimento de onda.
  • Determinar a potência emissiva (emissividade vezes a emissão de corpo negro) da superfície à temperatura T=1300\\ \mathrm{K}.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
  • Emissividade hemisférica espectral:
    • \epsilon(\lambda)=0{,}6 para \lambda<1{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
    • \epsilon(\lambda)=0{,}8 para 1{,}5\\ \mu\mathrm{m}\le\lambda\le 2{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
    • \epsilon(\lambda)=0{,}4 para \lambda>2{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
  • Temperatura da superfície: T=1300\\ \mathrm{K}.
O que preciso calcular a seguir:
  1. As frações da potência total de um corpo negro a 1300\\ \mathrm{K} que caem em cada uma dessas faixas de comprimento de onda (essas frações servem como pesos).
  2. A média hemisférica total \epsilon_{\mathrm{tot}}=\sum_i \epsilon_i f_i, onde f_i é a fração do corpo negro na faixa i.
  3. A potência emissiva E=\epsilon_{\mathrm{tot}}\,\sigma T^4, com \sigma a constante de Stefan–Boltzmann.

Passo 2

Explicação do método (passo a passo didático e concreto).
  1. Fórmula geral:
\epsilon_{\text{tot}}=\frac{\displaystyle\int_0^{\infty}\epsilon(\lambda)\,M_{\lambda}^{\text{bb}}(T)\,d\lambda}{\displaystyle\int_0^{\infty}M_{\lambda}^{\text{bb}}(T)\,d\lambda},
onde M_{\lambda}^{\text{bb}}(T) é a emissão espectral (por unidade de comprimento de onda) de um corpo negro por unidade de área. Para faixas disjuntas e emissividade constante em cada faixa isso vira soma ponderada:
\epsilon_{\text{tot}}=\sum_{i}\epsilon_i\,f_i,
sendo f_i a fração da potência total do corpo negro que está na faixa i:
f_i=\frac{\displaystyle\int_{\lambda_{i-}}^{\lambda_{i+}} M_{\lambda}^{\text{bb}}(T)\,d\lambda}{\displaystyle\int_{0}^{\infty} M_{\lambda}^{\text{bb}}(T)\,d\lambda}.
  1. Como calcular as frações f_i na prática (mudança de variável e função de distribuição acumulada):
    A função de Planck em termos de \lambda leva, após a mudança de variável
u=\frac{c_2}{\lambda T},\qquad c_2=\frac{hc}{k}\approx 14387{,}77\\ \mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{K},
a uma integral com integrando \dfrac{u^3}{e^u-1}. A integral total é
\int_0^{\infty}\frac{u^3}{e^u-1}\,du=\frac{\pi^4}{15}\approx 6{,}49394.
Definindo
I(x)=\int_0^{x}\frac{u^3}{e^u-1}\,du,
a fração da potência emitida em comprimentos de onda menores que \lambda é
F(\lambda)=1-\frac{I\!\bigl(\,x\bigr)}{\pi^4/15},\qquad x=\frac{c_2}{\lambda T}.
Portanto:
  • Fração em \lambda<1{,}5\\ \mu\mathrm{m} é F(1{,}5).
  • Fração em \lambda<2{,}5\\ \mu\mathrm{m} é F(2{,}5).
  • Fração na faixa 1{,}5 2{,}5\\ \mu\mathrm{m} é F(2{,}5)-F(1{,}5).
  • Fração em \lambda>2{,}5\\ \mu\mathrm{m} é 1-F(2{,}5).
  1. Constantes usadas:
c_2=14387{,}77\\ \mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{K},\qquad \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.

Passo 3

Calcular os argumentos x para cada comprimento de onda de corte (peguei c_2 e T conforme acima):
x_1=\frac{c_2}{1{,}5\\ \mu\mathrm{m}\cdot T}=\frac{14387{,}77}{1{,}5\cdot1300}\approx 7{,}375,
x_2=\frac{c_2}{2{,}5\\ \mu\mathrm{m}\cdot T}=\frac{14387{,}77}{2{,}5\cdot1300}\approx 4{,}427.
Agora precisamos de I(x_1) e I(x_2), onde
I(x)=\int_0^{x}\frac{u^3}{e^u-1}\,du.
Vou mostrar a forma prática de avaliar numericamente I(x) (a prova normalmente fornece tabelas; aqui eu faço a numeração aproximada por quadratura):
  • Calculei valores de f(u)=\dfrac{u^3}{e^u-1} em nós entre u=0 e u=7{,}375 e apliquei regras compostas de integração (Simpson/trapézio) para obter aproximações de I(x). Alguns valores de f(u) usados (apenas para acompanhar a integração):
    • f(0{,}5)\approx0{,}1926,\\ f(1)\approx0{,}5820,\\ f(1{,}5)\approx0{,}9698,\\ f(2)\approx1{,}2526,
    • f(2{,}5)\approx1{,}3979,\\ f(3)\approx1{,}4148,\\ f(3{,}5)\approx1{,}3357,\\ f(4)\approx1{,}1939,
    • f(4{,}427)\approx1{,}0487,\\ f(5)\approx0{,}8482,\\ f(5{,}5)\approx0{,}6829,\\ f(6)\approx0{,}5367,
    • f(6{,}5)\approx0{,}4135,\\ f(7)\approx0{,}3132,\\ f(7{,}375)\approx0{,}2513.
  • Integração numérica (resumo):
    • Encontrei I(4{,}427)\approx 4{,}3593.
    • Encontrei I(7{,}375)\approx 6{,}1156.
    • Lembrete: integral total \dfrac{\pi^4}{15}\approx 6{,}49394.
Com isso as frações acumuladas são:
F(1{,}5)=1-\frac{I(7{,}375)}{\pi^4/15}\approx 1-\frac{6{,}1156}{6{,}49394}\approx 0{,}0583.
F(2{,}5)=1-\frac{I(4{,}427)}{\pi^4/15}\approx 1-\frac{4{,}3593}{6{,}49394}\approx 0{,}3286.
Portanto as frações nas faixas do enunciado são:
  • Faixa A ( \lambda<1{,}5\\ \mu\mathrm{m}): f_A=F(1{,}5)\approx 0{,}0583 (5,83%).
  • Faixa B ( 1{,}5 2{,}5\\ \mu\mathrm{m}): f_B=F(2{,}5)-F(1{,}5)\approx 0{,}3286-0{,}0583=0{,}2703 (27,03%).
  • Faixa C ( \lambda>2{,}5\\ \mu\mathrm{m}): f_C=1-F(2{,}5)\approx 1-0{,}3286=0{,}6714 (67,14%).
Esses f_i somam (verificação): 0{,}0583+0{,}2703+0{,}6714\approx1{,}0000.

Passo 4

Calcular a emissividade hemisférica média ponderada:
\epsilon_{\mathrm{tot}}=\epsilon_A f_A+\epsilon_B f_B+\epsilon_C f_C.
Substituindo os valores (peguei \epsilons do enunciado e fs do passo anterior):
\epsilon_{\mathrm{tot}}=0{,}6\cdot0{,}0583+0{,}8\cdot0{,}2703+0{,}4\cdot0{,}6714.
Calcule cada termo:
0{,}6\cdot0{,}0583\approx0{,}0350, \qquad 0{,}8\cdot0{,}2703\approx0{,}2162, \qquad 0{,}4\cdot0{,}6714\approx0{,}2686.
Somando:
\epsilon_{\mathrm{tot}}\approx0{,}0350+0{,}2162+0{,}2686=0{,}5198\approx0{,}520.

Passo 5

Calcular a potência emissiva E=\epsilon_{\mathrm{tot}}\,\sigma T^{4}.
  1. Primeiro T^4:
T^4=(1300)^4=(1300^2)^2=(1{,}690{,}000)^2=2{,}8561\times10^{12}.
  1. Corpo negro total (Stefan–Boltzmann):
E_{\text{bb}}=\sigma T^4 =5{,}670374419\times10^{-8}\times 2{,}8561\times10^{12} \approx 1{,}61951\times10^{5}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  1. Potência emissiva da superfície:
E=\epsilon_{\mathrm{tot}}\,E_{\text{bb}} \approx 0{,}5198\times 1{,}61951\times10^{5} \approx 8{,}4179\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Arredondando razoavelmente: E\approx 8,42\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Resposta

\epsilon_{\mathrm{tot}}\approx0{,}520
E\approx8{,}42\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}

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