Determine a media total da emissividade hemisférica e a potencia emissiva de uma superfície que tenha uma emissividade hemisférica espectral de 0,6 com comprimentos de onda menores que
comprimentos de onda de 1,5 a
, e
comprimentos de onda maiores que
. A temperatura da superfície é de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a média total da emissividade hemisférica da superfície dada a emissividade espectral em três faixas de comprimento de onda.
- Determinar a potência emissiva (emissividade vezes a emissão de corpo negro) da superfície à temperatura
.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
- Emissividade hemisférica espectral:
-
para . -
para . -
para .
-
- Temperatura da superfície:
.
O que preciso calcular a seguir:
- As frações da potência total de um corpo negro a
que caem em cada uma dessas faixas de comprimento de onda (essas frações servem como pesos). - A média hemisférica total
, onde é a fração do corpo negro na faixa . - A potência emissiva
, com a constante de Stefan–Boltzmann.
Passo 2
Explicação do método (passo a passo didático e concreto).
- Fórmula geral:
onde
é a emissão espectral (por unidade de comprimento de onda) de um corpo negro por unidade de área. Para faixas disjuntas e emissividade constante em cada faixa isso vira soma ponderada:
sendo
a fração da potência total do corpo negro que está na faixa
:
- Como calcular as frações
na prática (mudança de variável e função de distribuição acumulada):
A função de Planck em termos deleva, após a mudança de variável
a uma integral com integrando
. A integral total é
Definindo
a fração da potência emitida em comprimentos de onda menores que
é
Portanto:
- Fração em
é . - Fração em
é . - Fração na faixa
– é . - Fração em
é .
- Constantes usadas:
Passo 3
Calcular os argumentos
para cada comprimento de onda de corte (peguei
e
conforme acima):
Agora precisamos de
e
, onde
Vou mostrar a forma prática de avaliar numericamente
(a prova normalmente fornece tabelas; aqui eu faço a numeração aproximada por quadratura):
-
Calculei valores de
em nós entre e e apliquei regras compostas de integração (Simpson/trapézio) para obter aproximações de . Alguns valores de usados (apenas para acompanhar a integração): -
-
Integração numérica (resumo):
- Encontrei
. - Encontrei
. - Lembrete: integral total
.
- Encontrei
Com isso as frações acumuladas são:
Portanto as frações nas faixas do enunciado são:
- Faixa A (
): (5,83%). - Faixa B (
– ): (27,03%). - Faixa C (
): (67,14%).
Esses
somam (verificação):
.
Passo 4
Calcular a emissividade hemisférica média ponderada:
Substituindo os valores (peguei
s do enunciado e
s do passo anterior):
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 5
Calcular a potência emissiva
.
- Primeiro
:
- Corpo negro total (Stefan–Boltzmann):
- Potência emissiva da superfície:
Arredondando razoavelmente:
.