26.23 A cylindrical graphite (pure carbon) rod of length 25 cm and initial diameter of 2 cm is inserted into a flowing air stream at 1100 K and 2 atm total pressure. The flowing gas creates a stagnant gas boundary layer 5 mm thick around the external surface of the rod. At this high temperature, the solid carbon
oxidizes to carbon dioxide,
, gas
The oxidation reaction is limited by the molecular diffusion of
through the stagnant gas film surrounding the surface of the rod. Outside of the gas film, the bulk composition of the air stream prevails.
a. Estimate the initial rate of
production from the rod, assuming that the surface reaction is diffusion limited.
b. How long will it take for the rod to disappear? The density of solid graphite is
.
oxidizes to carbon dioxide,
a. Estimate the initial rate of
b. How long will it take for the rod to disappear? The density of solid graphite is
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para a gente não se perder):
- Rod de grafite cilíndrico com comprimento
. - Diâmetro inicial
(logo raio ). - Filme gasoso estacionário (stagnant) em volta da superfície com espessura
. - Fluxo de ar externo com temperatura
e pressão total . - Composição do ar: usar
(fração molar de no ar) — o enunciado diz que fora do filme prevalece a composição do ar. - Reação na superfície (oxid. do carbono):
- A reação é limitada pela difusão molecular de
através do filme — isso significa que a taxa é controlada pelo fluxo difusivo de até a superfície. - Densidade do grafite sólida
.
O que o enunciado pede:
a. Estimar a taxa inicial de produção de a partir da haste, assumindo regime difusão-limitante (ou seja, taxa igual ao fluxo difusivo de
que alcança a superfície).
b. Calcular quanto tempo a haste demora a desaparecer (isto é, consumir todo o carbono) usando a taxa inicial obtida.
a. Estimar a taxa inicial de produção de
b. Calcular quanto tempo a haste demora a desaparecer (isto é, consumir todo o carbono) usando a taxa inicial obtida.
Passo 2
Entendendo o modelo físico e as fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
- Em regime difusão-limitante através de um filme estacionário de espessura
, o fluxo molar de por unidade de área até a superfície, em estado estacionário, é dado pela Lei de Fick em forma adimensionalizada:
onde:
-
é o fluxo molar de (unidade ), -
é o coeficiente de difusão binária efetiva de no gás do filme (unidade ), -
é a concentração molar de na superfície ( ), -
é a concentração molar de no fluido longe do filme (bulk), -
é a espessura do filme ( ). - Como a reação é fortemente rápida na superfície (difusão-limitante), podemos aproximar
. Assim
- Para obter
usamos a lei dos gases ideais (concentração molar):
onde
.
- Precisamos de um valor para
em e . Tomamos um valor de referência típico para difusão de em ar a e :
Da teoria cinética dos gases tem-se uma dependência aproximada
Logo, ajustamos
para as condições do problema por
Vou calcular esse
numericamente em seguida.
Passo 3
Cálculo do coeficiente de difusão em
e
.
Usando a fórmula de escala:
Calculemos o fator de temperatura:
Portanto
Passo 4
Cálculo da concentração molar de
no bulk (
):
Numérico:
Passo 5
Cálculo do fluxo molar de
por unidade de área:
(ou seja
.)
Passo 6
Área externa lateral do cilindro (supondo que a oxidação significativa é na superfície lateral):
Taxa total molar de
que alcança a superfície (e, por este regime, taxa molar de
produzida, pela estequiometria 1:1):
Taxa de produção de
em massa (massa molar
):
Então a taxa inicial de produção de
é cerca de
(ou
).
Passo 7
Calcular quanto tempo a haste demora a desaparecer.
Primeiro a massa inicial da haste (somente grafite):
Converter densidade para
:
Massa:
Taxa de consumo de carbono (em massa) relaciona-se com a taxa molar pela massa molar do carbono
:
Tempo para consumir toda a massa:
Convertendo para horas:
isto é aproximadamente
.
Passo 8
Resumo das hipóteses e observações rápidas (importante para a prova):
- Assumimos
(reação suficientemente rápida na superfície). Isso é o que significa “difusão-limitada”. - Assumimos
a ; usei a lei empírica para ajustar a . Em provas, esse procedimento é o esperado; se o enunciado der outro valor de use-o. - Negligenciei oxidação nas faces terminais (apenas superfície lateral). Incluir as duas faces aumentaria um pouco a área e reduziria o tempo de vida da haste, mas o efeito costuma ser pequeno para bastões longos.
- Resultado final numérico foi obtido com arredondamento razoável (3 algarismos significativos).
Resposta
(a)
.
(b) Tempo para desaparecer (aprox.
).
(b) Tempo para desaparecer