26 Calcule |\sqrt[3]{7+i \sqrt{13}}|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o módulo da raiz cúbica do número complexo 7 + i\sqrt{13}. Ou seja, queremos encontrar
\left| \sqrt[3]{7 + i\sqrt{13}} \right|.
Informações dadas: o número complexo é 7 + i\sqrt{13}. A tarefa é obter o valor numérico do módulo da sua raiz cúbica.

Passo 2

Primeiro lembro a fórmula do módulo de um número complexo. Se temos um número complexo z = x + iy, o módulo de z é
|z| = \sqrt{x^2 + y^2},
onde x é a parte real e y é a parte imaginária de z. Aqui, para z = 7 + i\sqrt{13} temos x=7 e y=\sqrt{13}. Então calculamos
|7 + i\sqrt{13}| = \sqrt{7^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{49 + 13} = \sqrt{62}.

Passo 3

Agora explico a propriedade que usamos para passar da raiz cúbica para o módulo: para qualquer número complexo w e inteiro n vale
|w^n| = |w|^n.
Em particular, se u é uma raiz cúbica de z (ou seja u^3 = z), então tomando módulos em ambos os lados obtemos
|u|^3 = |z| \quad\Rightarrow\quad |u| = |z|^{1/3}.
Observação importante: z tem três raízes cúbicas diferentes, mas todas elas têm o mesmo módulo dado por |z|^{1/3}. Isso é porque elas só diferem pelo argumento (ângulo), e o módulo fica igual.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso:
\left| \sqrt[3]{7 + i\sqrt{13}} \right| = \bigl|7 + i\sqrt{13}\bigr|^{1/3} = \bigl(\sqrt{62}\bigr)^{1/3}.
Agora simplifico a potência: \bigl(\sqrt{62}\bigr)^{1/3} = (62^{1/2})^{1/3} = 62^{1/6}, que também pode ser escrito como \sqrt[6]{62}.

Resposta

\sqrt[6]{62}

Exercícios relacionados