30 Sejam z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} vértices de um polígono regular inscrito em um círculo. Mostre que z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}=0.

Passo 1

Dados: os complexos z_{1},z_{2},\ldots,z_{n} são os vértices de um polígono regular inscrito em um círculo. O polígono tem n vértices (logo n\ge 3). Pergunta: mostrar que
z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}=0.

Passo 2

Ideia geométrica e escolha de representação: como os vértices estão igualmente espaçados em torno do centro do círculo, podemos representá‑los em forma polar (ou exponencial) no plano complexo. Vou assumir que o centro do círculo é a origem (se o centro fosse c\neq 0 a soma seria nc, mas o enunciado quer a soma zero, então entendemos o centro como a origem). Seja r>0 o raio do círculo e escolha um ângulo inicial \theta_{0} para o primeiro vértice. Então cada vértice tem forma
z_{k}=r e^{i(\theta_{0}+\frac{2\pi (k-1)}{n})},\qquad k=1,2,\dots,n.
Aqui usei a notação exponencial complexa: e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi (fórmula de Euler), que é a forma conveniente para representar pontos numa circunferência.

Passo 3

Coloco em fator comum r e^{i\theta_{0}} para simplificar a soma:
z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n} = r e^{i\theta_{0}}\sum_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{2\pi k}{n}}.
Aqui reindexei trocando k\mapsto k-1 para somar k=0 a n-1. Defino agora
\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}.
Então a soma interna fica \sum_{k=0}^{n-1}\omega^{k}.

Passo 4

Cálculo da soma geométrica: recorde que, para qualquer número complexo q\neq 1,
\sum_{k=0}^{n-1} q^{k} = \frac{1-q^{n}}{1-q}.
Isto é a fórmula da soma de uma progressão geométrica. Aplicando com q=\omega temos
\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{k} = \frac{1-\omega^{n}}{1-\omega}.
Mas \omega^{n} = \left(e^{i\frac{2\pi}{n}}\right)^{n} = e^{i2\pi} = 1. Portanto o numerador é zero. Também \omega\neq 1 porque n\ge 3 (ou ao menos n>1), então o denominador não anula de maneira inválida; logo a fração vale 0.

Passo 5

Substituindo de volta na soma original obtemos
z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n} = r e^{i\theta_{0}}\cdot 0 = 0.
Portanto a soma dos vértices é zero.

Passo 6

Intuição final (para fixar): geometricamente isso significa que os vetores que vão da origem a cada vértice estão distribuídos simetricamente em torno da origem, de modo que suas componentes se cancelam — o “centro de massa” dos vértices está na origem. Exemplos simples: para n=3 (triângulo equilátero) os três vetores somam zero; para n=4 (quadrado) os vértices opostos se cancelam aos pares.

Resposta

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