30 Sejam
vértices de um polígono regular inscrito em um círculo. Mostre que
.
Passo 1
Dados: os complexos
são os vértices de um polígono regular inscrito em um círculo. O polígono tem
vértices (logo
). Pergunta: mostrar que
Passo 2
Ideia geométrica e escolha de representação: como os vértices estão igualmente espaçados em torno do centro do círculo, podemos representá‑los em forma polar (ou exponencial) no plano complexo. Vou assumir que o centro do círculo é a origem (se o centro fosse
a soma seria
, mas o enunciado quer a soma zero, então entendemos o centro como a origem). Seja
o raio do círculo e escolha um ângulo inicial
para o primeiro vértice. Então cada vértice tem forma
Aqui usei a notação exponencial complexa:
(fórmula de Euler), que é a forma conveniente para representar pontos numa circunferência.
Passo 3
Coloco em fator comum
para simplificar a soma:
Aqui reindexei trocando
para somar
a
. Defino agora
Então a soma interna fica
.
Passo 4
Cálculo da soma geométrica: recorde que, para qualquer número complexo
,
Isto é a fórmula da soma de uma progressão geométrica. Aplicando com
temos
Mas
. Portanto o numerador é zero. Também
porque
(ou ao menos
), então o denominador não anula de maneira inválida; logo a fração vale
.
Passo 5
Substituindo de volta na soma original obtemos
Portanto a soma dos vértices é zero.
Passo 6
Intuição final (para fixar): geometricamente isso significa que os vetores que vão da origem a cada vértice estão distribuídos simetricamente em torno da origem, de modo que suas componentes se cancelam — o “centro de massa” dos vértices está na origem. Exemplos simples: para
(triângulo equilátero) os três vetores somam zero; para
(quadrado) os vértices opostos se cancelam aos pares.