Determine as raízes complexas
-ésimas de
:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as raízes complexas
-ésimas de
para
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: e
. Queremos todos os complexos
tais que
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Vamos escrever
em forma polar (módulo e argumento). Qualquer número complexo pode ser escrito como
, onde
é o módulo e
é um argumento de
.
Para temos claramente módulo
e um argumento principal
(porque no plano complexo
fica na direção do ângulo
). O argumento geral é
Para
ou seja, todas as representações polares de
são
.
Passo 3
Agora precisamos achar
tal que
. Se escrevermos
em forma polar
, então
Comparando módulos e argumentos, obtemos as condições
Da primeira condição vem
. Da segunda vem
Essa é a fórmula geral (resultado do Teorema de De Moivre para raízes): as
-ésimas raízes de
são
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
,
e podemos tomar
. Assim o módulo de cada raiz é
e os argumentos são
Portanto as raízes são
Passo 5
Vamos calcular explicitamente os seis argumentos e os correspondentes valores em forma
.
-
Para
: . Então -
Para
: . Então -
Para
: . Então -
Para
: . Então -
Para
: . Então -
Para
: . Então
Passo 6
Observações didáticas rápidas (úteis para a prova): as seis raízes têm módulo
e estão igualmente espaçadas no círculo unitário com diferença angular de
. São também pares conjugados
,
e
, e
.