Determine as raízes complexas n-ésimas de z :
n=6, z=-1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as raízes complexas n-ésimas de z para n=6 e z=-1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: n=6 e z=-1. Queremos todos os complexos w tais que w^{6} = -1.

Passo 2

Vamos escrever z=-1 em forma polar (módulo e argumento). Qualquer número complexo pode ser escrito como z = r e^{i\theta}, onde r=|z| é o módulo e \theta é um argumento de z.
Para z=-1 temos claramente módulo r=1 e um argumento principal \theta=\pi (porque no plano complexo -1 fica na direção do ângulo \pi). O argumento geral é
\theta = \pi + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},
ou seja, todas as representações polares de -1 são e^{i(\pi+2\pi k)}.

Passo 3

Agora precisamos achar w tal que w^{6}=z. Se escrevermos w em forma polar w=\rho e^{i\varphi}, então
w^{6} = \rho^{6} e^{i6\varphi} = r e^{i\theta}.
Comparando módulos e argumentos, obtemos as condições
\rho^{6}=r \quad\text{e}\quad 6\varphi = \theta + 2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.
Da primeira condição vem \rho = r^{1/6}. Da segunda vem
\varphi = \frac{\theta + 2\pi m}{6}.
Essa é a fórmula geral (resultado do Teorema de De Moivre para raízes): as n-ésimas raízes de r e^{i\theta} são
\rho = r^{1/n},\qquad \phi_k = \frac{\theta + 2\pi k}{n},\quad k=0,1,\dots,n-1.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: r=1, n=6 e podemos tomar \theta=\pi. Assim o módulo de cada raiz é
\rho = 1^{1/6}=1,
e os argumentos são
\phi_k = \frac{\pi + 2\pi k}{6} = \frac{(2k+1)\pi}{6},\quad k=0,1,2,3,4,5.
Portanto as raízes são
w_k = e^{i\phi_k} = \cos\!\bigl(\tfrac{(2k+1)\pi}{6}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{(2k+1)\pi}{6}\bigr),\quad k=0,\dots,5.

Passo 5

Vamos calcular explicitamente os seis argumentos e os correspondentes valores em forma a+ib.
  • Para k=0: \phi_0 = \dfrac{\pi}{6}. Então
    w_0 = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}.
  • Para k=1: \phi_1 = \dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}. Então
    w_1 = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0+i\cdot 1 = i.
  • Para k=2: \phi_2 = \dfrac{5\pi}{6}. Então
    w_2 = \cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}.
  • Para k=3: \phi_3 = \dfrac{7\pi}{6}. Então
    w_3 = \cos\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}.
  • Para k=4: \phi_4 = \dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}. Então
    w_4 = \cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0+i(-1)=-i.
  • Para k=5: \phi_5 = \dfrac{11\pi}{6}. Então
    w_5 = \cos\!\bigl(\tfrac{11\pi}{6}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{11\pi}{6}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}.

Passo 6

Observações didáticas rápidas (úteis para a prova): as seis raízes têm módulo 1 e estão igualmente espaçadas no círculo unitário com diferença angular de \tfrac{2\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3}. São também pares conjugados \bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{i}{2}\bigr), i e -i, e -\frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{i}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}
i
-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}
-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}
-i
\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}

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