Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0
(b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0
e pergunta se a transferência de calor é unidimensional, bidimensional ou tridimensional.
Informações que o enunciado fornece (explicitamente):
  • A equação contém derivadas parciais em relação a r e a z.
  • Não há nenhuma derivada parcial em relação ao ângulo \theta (ou \varphi) explícita na equação.
  • As grandezas que aparecem: T (temperatura), k (condutividade térmica) e \dot{e}_{\mathrm{ger}} (geração volumétrica de calor).
O que é pedido:
  • Identificar se o problema corresponde a transferência de calor unidimensional, bidimensional ou tridimensional, com base na forma da equação dada.

Passo 2

O que significa “dimensionalidade” aqui (explicação didática, passo a passo):
  • A dimensionalidade do problema refere-se ao número de coordenadas espaciais independentes das quais a temperatura T depende.
  • Se T depende apenas de uma coordenada espacial (por exemplo só de r ou só de z), diz-se que o problema é unidimensional.
  • Se T depende de duas coordenadas espaciais (por exemplo de r e z), diz-se que é bidimensional.
  • Se T depende das três coordenadas espaciais (por exemplo r, \theta e z em coordenadas cilíndricas), o problema é tridimensional.
Portanto, para determinar a dimensionalidade basta olhar quais derivadas parciais aparecem na equação — elas indicam as direções em que T varia.

Passo 3

Interpretando a equação dada (o que cada termo indica):
  • O termo \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\big(k r \frac{\partial T}{\partial r}\big) corresponde à variação radial da condução de calor em coordenadas cilíndricas. Ele só aparece quando há dependência de T em r.
  • O termo \frac{\partial}{\partial z}\!\big(k \frac{\partial T}{\partial z}\big) corresponde à variação axial (direção z). Ele só aparece quando há dependência de T em z.
  • A ausência de qualquer termo envolvendo \theta (por exemplo um termo como \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}T}{\partial \theta^{2}} ou \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}(\cdots)) indica que não há variação da temperatura com o ângulo \theta.
Explicação física simples e intuitiva:
  • Se a equação não contém derivadas em \theta, isso significa que o problema é axisimétrico: a temperatura é a mesma para todos os ângulos ao redor do eixo, isto é, T não depende de \theta.
  • Como a equação contém derivadas em r e em z, a temperatura pode variar nessas duas direções. Logo, temos variação em duas direções espaciais independentes.

Passo 4

Comparação com a forma geral em coordenadas cilíndricas (para reforçar entendimento):
  • A forma completa do operador laplaciano em coordenadas cilíndricas (quando k é constante e sem geração) é, para a parte de condução:
\nabla^{2}T=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}T}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}.
  • Na equação do enunciado aparece a parte radial e a parte axial, mas não aparece o termo \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}T}{\partial \theta^{2}}. Isso confirma que a dependência angular foi excluída (axisimetria) e que restam apenas duas coordenadas independentes: r e z.

Passo 5

Exemplos concretos para fixar:
  • Exemplo de problema unidimensional radial: cilindro infinito sem variação em z nem em \theta. A equação reduz-se a
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(k r \frac{dT}{dr}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0,
aqui T=T(r) — apenas uma coordenada, 1D.
  • Exemplo de problema unidimensional axial: placa longa onde T=T(z) e não depende de r nem de \theta. A equação reduz-se a
\frac{d}{dz}\!\left(k \frac{dT}{dz}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0,
aqui também 1D.
  • No caso do enunciado, ambos os tipos de derivada (em r e em z) permanecem, logo a temperatura pode variar nas duas direções simultaneamente — é um problema 2D.

Passo 6

Conclusão clara e direta (baseada nos passos anteriores):
  • A presença das derivadas parciais em r e em z e a ausência de derivadas em \theta implica que a temperatura depende de duas coordenadas espaciais (radial e axial) e não depende do ângulo: o problema é bidimensional e axisimétrico.

Resposta

Bidimensional (dependência em r e z; axisimétrico, sem dependência em \theta).

Exercícios relacionados