Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
(b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pergunta se a transferência de calor é unidimensional, bidimensional ou tridimensional.
Informações que o enunciado fornece (explicitamente):
- A equação contém derivadas parciais em relação a
e a . - Não há nenhuma derivada parcial em relação ao ângulo
(ou ) explícita na equação. - As grandezas que aparecem:
(temperatura), (condutividade térmica) e (geração volumétrica de calor).
O que é pedido:
- Identificar se o problema corresponde a transferência de calor unidimensional, bidimensional ou tridimensional, com base na forma da equação dada.
Passo 2
O que significa “dimensionalidade” aqui (explicação didática, passo a passo):
- A dimensionalidade do problema refere-se ao número de coordenadas espaciais independentes das quais a temperatura
depende. - Se
depende apenas de uma coordenada espacial (por exemplo só de ou só de ), diz-se que o problema é unidimensional. - Se
depende de duas coordenadas espaciais (por exemplo de e ), diz-se que é bidimensional. - Se
depende das três coordenadas espaciais (por exemplo , e em coordenadas cilíndricas), o problema é tridimensional.
Portanto, para determinar a dimensionalidade basta olhar quais derivadas parciais aparecem na equação — elas indicam as direções em que
varia.
Passo 3
Interpretando a equação dada (o que cada termo indica):
- O termo
corresponde à variação radial da condução de calor em coordenadas cilíndricas. Ele só aparece quando há dependência de em . - O termo
corresponde à variação axial (direção ). Ele só aparece quando há dependência de em . - A ausência de qualquer termo envolvendo
(por exemplo um termo como ou ) indica que não há variação da temperatura com o ângulo .
Explicação física simples e intuitiva:
- Se a equação não contém derivadas em
, isso significa que o problema é axisimétrico: a temperatura é a mesma para todos os ângulos ao redor do eixo, isto é, não depende de . - Como a equação contém derivadas em
e em , a temperatura pode variar nessas duas direções. Logo, temos variação em duas direções espaciais independentes.
Passo 4
Comparação com a forma geral em coordenadas cilíndricas (para reforçar entendimento):
- A forma completa do operador laplaciano em coordenadas cilíndricas (quando
é constante e sem geração) é, para a parte de condução:
- Na equação do enunciado aparece a parte radial e a parte axial, mas não aparece o termo
. Isso confirma que a dependência angular foi excluída (axisimetria) e que restam apenas duas coordenadas independentes: e .
Passo 5
Exemplos concretos para fixar:
- Exemplo de problema unidimensional radial: cilindro infinito sem variação em
nem em . A equação reduz-se a
aqui
— apenas uma coordenada, 1D.
- Exemplo de problema unidimensional axial: placa longa onde
e não depende de nem de . A equação reduz-se a
aqui também 1D.
- No caso do enunciado, ambos os tipos de derivada (em
e em ) permanecem, logo a temperatura pode variar nas duas direções simultaneamente — é um problema 2D.
Passo 6
Conclusão clara e direta (baseada nos passos anteriores):
- A presença das derivadas parciais em
e em e a ausência de derivadas em implica que a temperatura depende de duas coordenadas espaciais (radial e axial) e não depende do ângulo: o problema é bidimensional e axisimétrico.
Resposta
Bidimensional (dependência em
e
; axisimétrico, sem dependência em
).