2.26 Uma densidade linear de carga uniforme de
está em
no espaço livre, enquanto outra de
está localizada em
. Uma densidade superficial de carga uniforme de
está em
e outra de
está em
m . Determine
na origem.
Passo 1
O enunciado pede o módulo do campo elétrico no ponto origem devido a duas linhas de carga e a duas lâminas (planos) carregadas. Informações fornecidas:
Pergunta: determinar
no ponto
. Não há outras informações ocultas — assumimos linhas infinitas paralelas ao eixo
e lâminas infinitas paralelas ao plano
, ambas uniformes.
Passo 2
Estratégia: por superposição vetorial calculamos o campo de cada fonte isoladamente e somamos vetorialmente. Vou usar fórmulas padrão obtidas por Lei de Gauss:
- campo de uma linha de carga infinita uniformemente distribuída a distância
: ; - campo de uma lâmina (plano) infinita com densidade superficial
: (em cada lado da lâmina).
Antes de calcular, explico e justifico essas fórmulas (para você saber aplicar na prova).
Passo 3
Derivação (curta e intuitiva) da fórmula para linha infinita:
- Pegamos um cilindro gaussiano coaxial com a linha, raio
e comprimento . O fluxo elétrico pela superfície lateral é porque o campo é radial e constante nessa superfície. - A carga encerrada é
. - Pela Lei de Gauss,
. Logo
Aqui
é a densidade linear (C/m),
é a distância perpendicular à linha (m) e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso para cada linha: a distância do centro da linha ao ponto origem é
. Para a linha com
o campo no ponto está direcionado para fora da linha (logo, do lado de
para o ponto em
isso é direção
). Para a linha com
o campo no ponto está dirigido em direção à linha (também
). Portanto os dois contribuem no mesmo sentido
e somam em módulo. Convertemos unidades:
Campo de uma linha em
:
Como há duas linhas com mesma magnitude (sinais opostos, mas que produzem campos no mesmo sentido no ponto), o total das linhas é
Substituindo
dá também
. Agora faço o cálculo numérico:
Direção:
(isto é, componente
).
Passo 5
Derivação (curta) da fórmula para lâmina infinita: usar uma caixa de Gauss (pillbox) atravessando a lâmina; o fluxo sai pelos dois discos do pillbox e o campo é normal e constante. Resultado:
onde
é a densidade superficial (C/m
). O sentido é para fora da lâmina se
, para dentro se
.
Passo 6
Análise das duas lâminas: estão em
com
e em
com
. O ponto origem (
) está entre as lâminas. Para a lâmina em
(positiva) o campo entre a lâmina e a origem aponta para baixo (no sentido
). Para a lâmina em
(negativa) o campo entre a lâmina e a origem também aponta para
. Portanto os campos das duas somam e o total vindo das lâminas é
Convertemos
:
Cálculo numérico:
Direção:
(isto é, componente
).
Passo 7
Agora somamos vetorialmente as contribuições (não há componente em
). Assim o campo resultante no ponto é
O módulo é
Faço a conta: