2.26 Uma densidade linear de carga uniforme de 5 \mathrm{nC} / \mathrm{m} está em y=0, z=2 \mathrm{~m} no espaço livre, enquanto outra de -5 \mathrm{nC} / \mathrm{m} está localizada em y=0, z=-2. Uma densidade superficial de carga uniforme de 0,3 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} está em y=0,2 \mathrm{~m} e outra de -0,3 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} está em y=-0,2 m . Determine |\mathbf{E}| na origem.

Passo 1

O enunciado pede o módulo do campo elétrico no ponto origem devido a duas linhas de carga e a duas lâminas (planos) carregadas. Informações fornecidas:
\lambda_1=+5\\ \mathrm{nC/m}\\ \text{em}\\ (y=0,\;z=+2\\ \mathrm{m}),
\lambda_2=-5\\ \mathrm{nC/m}\\ \text{em}\\ (y=0,\;z=-2\\ \mathrm{m}),
\sigma_1=+0{,}3\\ \mathrm{nC/m^2}\\ \text{em}\\ y=+0{,}2\\ \mathrm{m},
\sigma_2=-0{,}3\\ \mathrm{nC/m^2}\\ \text{em}\\ y=-0{,}2\\ \mathrm{m}.
Pergunta: determinar |\mathbf{E}| no ponto (0,0,0). Não há outras informações ocultas — assumimos linhas infinitas paralelas ao eixo x e lâminas infinitas paralelas ao plano xz, ambas uniformes.

Passo 2

Estratégia: por superposição vetorial calculamos o campo de cada fonte isoladamente e somamos vetorialmente. Vou usar fórmulas padrão obtidas por Lei de Gauss:
  • campo de uma linha de carga infinita uniformemente distribuída a distância r: \displaystyle E_{\text{linha}}=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0 r};
  • campo de uma lâmina (plano) infinita com densidade superficial \sigma: \displaystyle E_{\text{lâmina}}=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}â (em cada lado da lâmina).
    Antes de calcular, explico e justifico essas fórmulas (para você saber aplicar na prova).

Passo 3

Derivação (curta e intuitiva) da fórmula para linha infinita:
  • Pegamos um cilindro gaussiano coaxial com a linha, raio r e comprimento L. O fluxo elétrico pela superfície lateral é \Phi = E\cdot(2\pi r L) porque o campo é radial e constante nessa superfície.
  • A carga encerrada é Q_{\text{enc}}=\lambda L.
  • Pela Lei de Gauss, \Phi = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0. Logo
E\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad \displaystyle E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
Aqui \lambda é a densidade linear (C/m), r é a distância perpendicular à linha (m) e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso para cada linha: a distância do centro da linha ao ponto origem é r=2\\ \mathrm{m}. Para a linha com \lambda=+5\\ \mathrm{nC/m} o campo no ponto está direcionado para fora da linha (logo, do lado de z=+2 para o ponto em z=0 isso é direção -\hat{z}). Para a linha com \lambda=-5\\ \mathrm{nC/m} o campo no ponto está dirigido em direção à linha (também -\hat{z}). Portanto os dois contribuem no mesmo sentido -\hat{z} e somam em módulo. Convertemos unidades:
\lambda=5\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m},\qquad \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Campo de uma linha em r=2\\ \mathrm{m}:
E_{\text{uma linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
Como há duas linhas com mesma magnitude (sinais opostos, mas que produzem campos no mesmo sentido no ponto), o total das linhas é
E_{z} = 2\cdot\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}=\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 r}.
Substituindo r=2\\ \mathrm{m} dá também E_{z}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}. Agora faço o cálculo numérico:
E_{z}=\frac{5\times10^{-9}}{2\pi\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{V/m}\approx 89{,}86\\ \mathrm{V/m}.
Direção: -\hat{z} (isto é, componente E_z=-89{,}86\\ \mathrm{V/m}).

Passo 5

Derivação (curta) da fórmula para lâmina infinita: usar uma caixa de Gauss (pillbox) atravessando a lâmina; o fluxo sai pelos dois discos do pillbox e o campo é normal e constante. Resultado:
E_{\text{lâmina}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},â
onde \sigma é a densidade superficial (C/m ^2). O sentido é para fora da lâmina se \sigma>0, para dentro se \sigma<0.

Passo 6

Análise das duas lâminas: estão em y=+0{,}2\\ \mathrm{m} com \sigma=+0{,}3\\ \mathrm{nC/m^2} e em y=-0{,}2\\ \mathrm{m} com \sigma=-0{,}3\\ \mathrm{nC/m^2}. O ponto origem ( y=0) está entre as lâminas. Para a lâmina em y=+0{,}2 (positiva) o campo entre a lâmina e a origem aponta para baixo (no sentido -\hat{y}). Para a lâmina em y=-0{,}2 (negativa) o campo entre a lâmina e a origem também aponta para -\hat{y}. Portanto os campos das duas somam e o total vindo das lâminas é
E_{y} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
Convertemos \sigma:
\sigma=0{,}3\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}=3{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}.
Cálculo numérico:
E_{y}=\frac{3{,}0\times10^{-10}}{8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{V/m}\approx 33{,}88\\ \mathrm{V/m}.
Direção: -\hat{y} (isto é, componente E_y=-33{,}88\\ \mathrm{V/m}).

Passo 7

Agora somamos vetorialmente as contribuições (não há componente em x). Assim o campo resultante no ponto é
\mathbf{E}=(0,\;E_y,\;E_z)=(0,\;-33{,}88,\;-89{,}86)\\ \mathrm{V/m}.
O módulo é
|\mathbf{E}|=\sqrt{E_y^2+E_z^2}=\sqrt{(33{,}88)^2+(89{,}86)^2}\\ \mathrm{V/m}.
Faço a conta:
|\mathbf{E}|\approx\sqrt{1147{,}9+8074{,}8}\\ \mathrm{V/m}\approx\sqrt{9222{,}7}\\ \mathrm{V/m}\approx 96{,}0\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

|\mathbf{E}|=96{,}0\\ \mathrm{V/m}

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