Uma densidade superficial de carga uniforme de 5 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} está presente na regiāo x=0,-2<y<0 \mathrm{e} \forall z. Se \[\epsilon=\epsilon_{0}\, determine \mathbf{E}\ em:
P_{B}(0,3,0)]

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico no ponto P_{B}(0,3,0). As informações dadas são:
  • Há uma densidade superficial de carga uniforme \sigma=5\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2} localizada na superfície x=0 apenas para -2<y<0 e para todo z. (Peguei esse dado do enunciado.)
  • A permissividade é \epsilon=\epsilon_{0} (ou seja, vácuo).
  • O ponto onde queremos \mathbf{E} é P_{B} com coordenadas (0,3,0).
    Pergunta clara: determinar o vetor campo elétrico \mathbf{E} em P_{B}(0,3,0).

Passo 2

Observação geométrica e escolha do método (apenas para orientar a resolução):
  • A distribuição de carga é infinita na direção z (para todo z), e limitada em y no intervalo [-2,0], estando localizada no plano x=0.
  • Por simetria de translação ao longo de z, é conveniente decompor a superfície em linhas paralelas ao eixo z. Cada faixa infinitesimal em y tem carga por unidade de comprimento (ao longo de z) \lambda=\sigma\,dy'. O campo de cada linha infinita é conhecido; somamos (integramos) sobre y'\in[-2,0].
  • Assim vamos reduzir o problema a integrar campos de linhas infinitas ao longo de z.

Passo 3

Campo de uma linha infinita (curtinha de teoria para usar na prova):
  • Considere uma linha infinita de carga ao longo de z com densidade linear \lambda. Por simetria radial e pela lei de Gauss, o módulo do campo a uma distância s da linha é
E_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,s}.
  • Aqui s é a distância perpendicular da linha ao ponto onde se calcula o campo e a direção do campo é radial no plano xy, apontando do elemento de carga para o ponto (se \lambda>0, aponta para fora).

Passo 4

Construção do integral para a distribuição dada:
  • Tome um elemento de superfície localizado em (x'=0,y'=y',z'=z') com carga dq=\sigma\,dy'\,dz'.
  • Para um dado y' fixo, integrando sobre todo z' a superfície reduz-se a uma linha ao longo de z com densidade linear \lambda=\sigma\,dy'.
  • A distância perpendicular do eixo dessa linha ao ponto P_{B}(0,3,0) é
s=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-y')^{2}}=\sqrt{0+(3-y')^{2}}=|3-y'|.
  • Como o ponto e as linhas têm x=0, não há componente x. Pelo formato, o campo de cada linha no ponto está ao longo do eixo y. Para y'\in[-2,0] temos 3-y'>0, então s=3-y' e a contribuição está no sentido positivo de y.
  • O elemento de campo (módulo) devido à linha correspondente a y' é
dE(y')=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,s}=\frac{\sigma\,dy'}{2\pi\epsilon_{0}(3-y')}.
  • Como a direção é \hat{\mathbf{y}} (positiva), o campo total em P_{B} é
\mathbf{E}=\hat{\mathbf{y}}\int_{y'=-2}^{0}\frac{\sigma}{2\pi\epsilon_{0}(3-y')}\,dy'.

Passo 5

Cálculo do integral analítico (mostrando passo a passo das contas):
  • Calcule a integral
\int_{-2}^{0}\frac{1}{3-y'}\,dy'.
  • Faça a substituição direta: uma primitiva é -\ln|3-y'|. Portanto
\int_{-2}^{0}\frac{1}{3-y'}\,dy'=\bigl[-\ln(3-y')\bigr]_{-2}^{0}=-\ln(3-0)+\ln(3-(-2))=-\ln 3+\ln 5=\ln\!\left(\frac{5}{3}\right).
  • Logo o campo é
\mathbf{E}=\hat{\mathbf{y}}\;\frac{\sigma}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{5}{3}\right).

Passo 6

Substituição dos valores numéricos e resultado final (contando com \sigma=5\\ \mathrm{nC/m^{2}} e \epsilon_{0}\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}):
  • Primeiro expresse \sigma em SI: \sigma=5\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • Calculamos o fator numérico:
\frac{\sigma}{2\pi\epsilon_{0}}=\frac{5\times10^{-9}}{2\pi\cdot8{,}854187817\times10^{-12}}\approx 89{,}866\\ \mathrm{V/m}.
  • O logaritmo é \ln\!\left(\frac{5}{3}\right)\approx0{,}5108256.
  • Multiplicando:
E_{y}\approx 89{,}866\times0{,}5108256\approx45{,}9\\ \mathrm{V/m}.
  • Direção: positiva em y. Não há componentes em x nem em z.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(0,3,0)\approx 45{,}9\\ \hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{V/m}

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