Uma densidade superficial de carga uniforme de
está presente na regiāo
. Se \[\epsilon=\epsilon_{0}\, determine \mathbf{E}\ em:
P_{B}(0,3,0)]
P_{B}(0,3,0)]
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico no ponto
. As informações dadas são:
- Há uma densidade superficial de carga uniforme
localizada na superfície apenas para e para todo . (Peguei esse dado do enunciado.) - A permissividade é
(ou seja, vácuo). - O ponto onde queremos
é com coordenadas .
Pergunta clara: determinar o vetor campo elétricoem .
Passo 2
Observação geométrica e escolha do método (apenas para orientar a resolução):
- A distribuição de carga é infinita na direção
(para todo ), e limitada em no intervalo , estando localizada no plano . - Por simetria de translação ao longo de
, é conveniente decompor a superfície em linhas paralelas ao eixo . Cada faixa infinitesimal em tem carga por unidade de comprimento (ao longo de ) . O campo de cada linha infinita é conhecido; somamos (integramos) sobre . - Assim vamos reduzir o problema a integrar campos de linhas infinitas ao longo de
.
Passo 3
Campo de uma linha infinita (curtinha de teoria para usar na prova):
- Considere uma linha infinita de carga ao longo de
com densidade linear . Por simetria radial e pela lei de Gauss, o módulo do campo a uma distância da linha é
- Aqui
é a distância perpendicular da linha ao ponto onde se calcula o campo e a direção do campo é radial no plano , apontando do elemento de carga para o ponto (se , aponta para fora).
Passo 4
Construção do integral para a distribuição dada:
- Tome um elemento de superfície localizado em
com carga . - Para um dado
fixo, integrando sobre todo a superfície reduz-se a uma linha ao longo de com densidade linear . - A distância perpendicular do eixo dessa linha ao ponto
é
- Como o ponto e as linhas têm
, não há componente . Pelo formato, o campo de cada linha no ponto está ao longo do eixo . Para temos , então e a contribuição está no sentido positivo de . - O elemento de campo (módulo) devido à linha correspondente a
é
- Como a direção é
(positiva), o campo total em é
Passo 5
Cálculo do integral analítico (mostrando passo a passo das contas):
- Calcule a integral
- Faça a substituição direta: uma primitiva é
. Portanto
- Logo o campo é
Passo 6
Substituição dos valores numéricos e resultado final (contando com
e
):
- Primeiro expresse
em SI: . - Calculamos o fator numérico:
- O logaritmo é
. - Multiplicando:
- Direção: positiva em
. Não há componentes em nem em .