Uma densidade superficial de carga uniforme de 5 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} está presente na regiāo x=0,-2<y<0 \mathrm{e} \forall z. Se \[\epsilon=\epsilon_{0}\, determine \mathbf{E}\ em:
P_{A}(3,0,0)]

Passo 1

Entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Há uma densidade superficial de carga uniforme \sigma = 5\\ \mathrm{nC/m^{2}}. Vou escrever em unidades SI: \sigma = 5\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
    • Essa superfície de carga está localizada no plano \,x=0\, e restringida ao intervalo -2<y<0 (ou seja, é uma faixa no plano x=0 que se estende por todos os z).
    • A permissividade é \epsilon=\epsilon_{0} (tomamos \epsilon_{0}=8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
  • O que o problema pede:
    • Determinar o campo elétrico \mathbf{E} no ponto P_{A}(3,0,0).
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A carga é infinita na direção z (estende-se para todo z), logo existe simetria de translação ao longo de z. Isso implica \mathbf{E} não depende de z e não terá componente E_{z}.
  • A faixa de carga está no plano x=0 entre y=-2 e y=0. O ponto P_{A} está em x=3,y=0, ou seja, a uma distância 3 do plano x=0 e alinhado com a extremidade y=0 da faixa.

Passo 2

Escolha do modelo matemático para calcular \mathbf{E} e ideia geral da integração (sem calcular ainda).
  • Como a superfície é infinita em z, é útil decompor a faixa em linhas infinitas paralelas ao eixo z. Cada linha, localizada em x=0,\,y=y' (com -2<y'<0), tem carga por unidade de comprimento (ao longo de z) igual a \lambda(y')=\sigma\,dy',onde dy' é a largura infinitesimal na direção y.
  • O campo produzido por uma linha infinita de carga com densidade linear \lambda (paralela a z) num ponto situado no plano xy a uma distância perpendicular r da linha tem módulo E_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon\,r},e é dirigido radialmente do fio para o ponto (se \lambda>0, aponta para fora do fio).
  • Então somamos (integramos) as contribuições das linhas com y' variando de -2 até 0. Cada contribuição tem direção dada pelo vetor que vai de (0,y') até (3,0).

Passo 3

Expressar a contribuição elementar de campo de uma linha localizada em y' e escrever as componentes.
  • Ponto de observação: (x,y)=(3,0).
  • Linha infinitamente longa situada em (x,y)=(0,y'). Distância perpendicular entre a linha e o ponto é r=\sqrt{(3-0)^{2}+(0-y')^{2}}=\sqrt{9+y'^{2}}.
  • Carga por unidade de comprimento da linha: d\lambda=\sigma\,dy'.
  • Módulo da contribuição elementar de campo: dE=\frac{d\lambda}{2\pi\epsilon\,r}=\frac{\sigma\,dy'}{2\pi\epsilon\,\sqrt{9+y'^{2}}}.
  • Direção do vetor campo: do ponto (0,y') para (3,0), o vetor deslocamento é (3,\,-y'). A componente x do versor é \dfrac{3}{r} e a componente y é \dfrac{-y'}{r}.
  • Portanto as componentes diferenciais são dE_{x}=dE\cdot\frac{3}{r}=\frac{\sigma\,3\,dy'}{2\pi\epsilon\,(9+y'^{2})},
dE_{y}=dE\cdot\frac{-y'}{r}=\frac{-\sigma\,y'\,dy'}{2\pi\epsilon\,(9+y'^{2})}.
  • Não há componente z: dE_{z}=0.

Passo 4

Escrever as integrais para E_{x} e E_{y} somando todas as linhas de -2 a 0.
  • Integramos y' de -2 até 0: E_{x}=\int_{-2}^{0}\frac{\sigma\,3}{2\pi\epsilon\,(9+y'^{2})}\,dy',
E_{y}=\int_{-2}^{0}\frac{-\sigma\,y'}{2\pi\epsilon\,(9+y'^{2})}\,dy'.

Passo 5

Calcular E_{x}: resolver a integral racional com arctan.
  • A integral que aparece é do tipo \displaystyle\int \frac{dy'}{a^{2}+y'^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{y'}{a}\right). Aqui a^{2}=9\Rightarrow a=3.
  • Então E_{x}=\frac{3\sigma}{2\pi\epsilon}\int_{-2}^{0}\frac{dy'}{9+y'^{2}} =\frac{3\sigma}{2\pi\epsilon}\cdot\frac{1}{3}\left[\arctan\!\left(\frac{y'}{3}\right)\right]_{-2}^{0}.
  • Simplificando o fator 3: E_{x}=\frac{\sigma}{2\pi\epsilon}\left(\arctan\!\left(0\right)-\arctan\!\left(-\frac{2}{3}\right)\right).
  • Como \arctan(0)=0 e \arctan(-u)=-\arctan(u), obtemos E_{x}=\frac{\sigma}{2\pi\epsilon}\,\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right).

Passo 6

Calcular E_{y}: usar substituição para a integral logarítmica.
  • A integral é E_{y}=-\frac{\sigma}{2\pi\epsilon}\int_{-2}^{0}\frac{y'\,dy'}{9+y'^{2}}.
  • Fazer u=9+y'^{2}. Então du=2y'\,dy' e y'\,dy'=\tfrac{1}{2}du.
  • Os limites: quando y'=-2, u=9+4=13; quando y'=0, u=9.
  • A integral torna-se E_{y}=-\frac{\sigma}{2\pi\epsilon}\cdot\frac{1}{2}\int_{u=13}^{9}\frac{du}{u}.
  • Trocar os limites (fazendo mudar de sinal) para escrever de 9 a 13: E_{y}=-\frac{\sigma}{4\pi\epsilon}\left(-\int_{9}^{13}\frac{du}{u}\right)=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon}\int_{9}^{13}\frac{du}{u}.
  • A integral de 1/u é o logaritmo natural, então E_{y}=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon}\left[\ln u\right]_{9}^{13} =\frac{\sigma}{4\pi\epsilon}\ln\!\left(\frac{13}{9}\right).
  • Observação física do sinal: E_{y}>0. Isso faz sentido: a faixa está abaixo (valores y' negativos) e repele, produzindo componente para cima (positivo em y) no ponto com y=0.

Passo 7

Escrever o vetor campo completo simbolicamente.
  • Reunindo as componentes: \mathbf{E}(3,0,0)=E_{x}\,\hat{\mathbf{x}}+E_{y}\,\hat{\mathbf{y}}com E_{x}=\frac{\sigma}{2\pi\epsilon}\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right),\qquad E_{y}=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon}\ln\!\left(\frac{13}{9}\right),\qquad E_{z}=0.

Passo 8

Calcular valores numéricos (opcional, mas útil para a prova). Usar \sigma=5\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}} e \epsilon=\epsilon_{0}=8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Primeiro constantes: 2\pi\epsilon_{0}\approx 2\pi(8{,}854187817\times 10^{-12})\approx 5{,}563\times 10^{-11}\\ \mathrm{F/m},
4\pi\epsilon_{0}\approx 1{,}1126\times 10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
  • Avaliar funções: \arctan\!\left(\frac{2}{3}\right)\approx 0{,}5880026\\ \text{rad},
\ln\!\left(\frac{13}{9}\right)\approx 0{,}3662041.
  • Agora E_{x}: E_{x}=\frac{5\times 10^{-9}}{5{,}563\times 10^{-11}}\cdot 0{,}5880026 \approx 52{,}83\\ \mathrm{V/m}.
  • E E_{y}: E_{y}=\frac{5\times 10^{-9}}{1{,}1126\times 10^{-10}}\cdot 0{,}3662041 \approx 16{,}44\\ \mathrm{V/m}.
  • Resultado numérico aproximado: \mathbf{E}(3,0,0)\approx 52{,}83\,\hat{\mathbf{x}}+16{,}44\,\hat{\mathbf{y}}\quad(\mathrm{V/m}).

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(3,0,0)=\frac{\sigma}{2\pi\epsilon}\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right)\,\hat{\mathbf{x}}+\frac{\sigma}{4\pi\epsilon}\ln\!\left(\frac{13}{9}\right)\,\hat{\mathbf{y}}
\displaystyle \mathbf{E}(3,0,0)\approx 52{,}83\,\hat{\mathbf{x}}+16{,}44\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{(V/m)}

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