Uma densidade superficial de carga uniforme de
está presente na regiāo
. Se \[\epsilon=\epsilon_{0}\, determine \mathbf{E}\ em:
P_{A}(3,0,0)]
P_{A}(3,0,0)]
Passo 1
Entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Há uma densidade superficial de carga uniforme
. Vou escrever em unidades SI: . - Essa superfície de carga está localizada no plano
e restringida ao intervalo (ou seja, é uma faixa no plano que se estende por todos os ). - A permissividade é
(tomamos ).
- Há uma densidade superficial de carga uniforme
-
O que o problema pede:
- Determinar o campo elétrico
no ponto .
- Determinar o campo elétrico
Observações importantes extraídas do enunciado:
- A carga é infinita na direção
(estende-se para todo ), logo existe simetria de translação ao longo de . Isso implica não depende de e não terá componente . - A faixa de carga está no plano
entre e . O ponto está em , ou seja, a uma distância do plano e alinhado com a extremidade da faixa.
Passo 2
Escolha do modelo matemático para calcular
e ideia geral da integração (sem calcular ainda).
- Como a superfície é infinita em
, é útil decompor a faixa em linhas infinitas paralelas ao eixo . Cada linha, localizada em (com ), tem carga por unidade de comprimento (ao longo de ) igual a onde é a largura infinitesimal na direção . - O campo produzido por uma linha infinita de carga com densidade linear
(paralela a ) num ponto situado no plano a uma distância perpendicular da linha tem módulo e é dirigido radialmente do fio para o ponto (se , aponta para fora do fio). - Então somamos (integramos) as contribuições das linhas com
variando de até . Cada contribuição tem direção dada pelo vetor que vai de até .
Passo 3
Expressar a contribuição elementar de campo de uma linha localizada em
e escrever as componentes.
- Ponto de observação:
. - Linha infinitamente longa situada em
. Distância perpendicular entre a linha e o ponto é - Carga por unidade de comprimento da linha:
. - Módulo da contribuição elementar de campo:
- Direção do vetor campo: do ponto
para , o vetor deslocamento é . A componente do versor é e a componente é . - Portanto as componentes diferenciais são
- Não há componente
: .
Passo 4
Escrever as integrais para
e
somando todas as linhas de
a
.
- Integramos
de até :
Passo 5
Calcular
: resolver a integral racional com arctan.
- A integral que aparece é do tipo
. Aqui . - Então
- Simplificando o fator
: - Como
e , obtemos
Passo 6
Calcular
: usar substituição para a integral logarítmica.
- A integral é
- Fazer
. Então e . - Os limites: quando
, ; quando , . - A integral torna-se
- Trocar os limites (fazendo mudar de sinal) para escrever de 9 a 13:
- A integral de
é o logaritmo natural, então - Observação física do sinal:
. Isso faz sentido: a faixa está abaixo (valores negativos) e repele, produzindo componente para cima (positivo em ) no ponto com .
Passo 7
Escrever o vetor campo completo simbolicamente.
- Reunindo as componentes:
com
Passo 8
Calcular valores numéricos (opcional, mas útil para a prova). Usar
e
.
- Primeiro constantes:
- Avaliar funções:
- Agora
: - E
: - Resultado numérico aproximado: