2.28 Seja
e determine: (a) a equação da linha de força que passa por
; (b) um vetor unitário
especificando a direção de
em
, 5 ); (c) um vetor unitário
que é perpendicular a
.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico e pede três coisas. Informação dada:
Pontos fornecidos:
Perguntas:
(a) determinar a equação da linha de força que passa por ;
(b) determinar um vetor unitário que especifica a direção de
em
;
(c) determinar um vetor unitário que seja perpendicular a
em
.
(a) determinar a equação da linha de força que passa por
(b) determinar um vetor unitário
(c) determinar um vetor unitário
Passo 2
Entendendo o que é linha de força (explicação didática).
Linhas de força (linhas de campo) são curvas tangentes ao campo em cada ponto. Se escrevemos as componentes do campo como , as equações das linhas de força satisfazem a relação diferencial (equação paramétrica do campo):
Linhas de força (linhas de campo) são curvas tangentes ao campo em cada ponto. Se escrevemos as componentes do campo como
Explicação intuitiva: se você seguir a curva cuja direção em cada ponto é a direção do vetor
naquele ponto, o diferencial de posição
está proporcional a
, daí as razões iguais acima. Essa é a equação que vamos usar para a parte (a).
Passo 3
Obter as componentes explícitas de
e observar
.
Aqui:
Aqui:
Observação importante: como
para todo ponto, a componente
não varia ao longo de uma linha de força (porque
seria
, o que só faz sentido se
). Portanto, as linhas de força ficam em planos
constante. Logo, para a linha de força que passa por
teremos
ao longo da linha.
Passo 4
Montar a equação diferencial entre
e
.
Usando a igualdade das razões para e
:
Usando a igualdade das razões para
Simplificamos essa igualdade para obter uma equação só em
e
. Primeiro manipulamos algebricamente:
multiplicando ambos os lados por
(não nulo para
e
):
Reescrevendo:
Comentário didático: reconhecemos uma equação separável clássica; levar o
para um lado e o
para o outro permite integrar facilmente.
Passo 5
Integrar a equação separável e obter a família de curvas.
Integrando ambos os lados:
Integrando ambos os lados:
As integrais são as logaritmicas usuais:
onde
é constante de integração. Usamos propriedades dos logaritmos para reescrever:
onde
(constante positiva, absorvendo o sinal se necessário). Assim:
Isso é a família de linhas de força (para
).
Passo 6
Determinar a constante usando a condição de passagem por
.
Substituímos e
em
:
Substituímos
Logo
Portanto a linha de força que passa por
é
Explicação prática: no papel da prova você pode também escrever
.
Passo 7
Preparar para a parte (b): valor do campo em
.
Vamos calcular em
substituindo
e
nas componentes:
Vamos calcular
Logo
Passo 8
Encontrar o vetor unitário na direção de
em
(explicação didática sobre normalização).
Para obter um vetor unitário na direção de um vetor dado , dividimos
pela sua norma
. A norma de um vetor
é
Para obter um vetor unitário na direção de um vetor dado
No nosso caso:
Fatoramos
:
Então o vetor unitário
(na mesma direção que
) é
Comentário prático: sempre verifique que o quadrado das componentes dá
quando somado (aqui
).
Passo 9
Parte (c): encontrar
unitário e perpendicular a
em
(explicação didática sobre perpendicularidade).
Duas condições devem valer:
Duas condições devem valer:
- perpendicularidade: o produto escalar com
deve ser zero:
Divide-se por
para simplificar:
- normalização:
tem norma :
Substituindo
:
Portanto
Logo existem duas direções unitárias perpendiculares (opostas entre si):
Explicação prática: qualquer uma das duas serve, pois são opostas e ambas têm módulo 1 e são ortogonais a
.
Resposta
(a)
(b)
(c) ou
(b)
(c)