2.28 Seja \mathbf{E}=5 x^{3} \mathbf{a}_{s}-15 x^{2} y \mathbf{a}_{,}e determine: (a) a equação da linha de força que passa por P(4,2,1); (b) um vetor unitário \mathbf{a}_{g} especificando a direção de \mathbf{E} em Q(3,-2, 5 ); (c) um vetor unitário \mathbf{a}_{N}=(l, m, 0) que é perpendicular a \mathbf{a}_{E} \mathrm{em} Q.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico e pede três coisas. Informação dada:
\mathbf{E}=5x^{3}\,\mathbf{a}_{x}-15x^{2}y\,\mathbf{a}_{y}.
Pontos fornecidos:
P(4,2,1)\quad\text{e}\quad Q(3,-2,5).
Perguntas:
(a) determinar a equação da linha de força que passa por P;
(b) determinar um vetor unitário \mathbf{a}_{g} que especifica a direção de \mathbf{E} em Q;
(c) determinar um vetor unitário \mathbf{a}_{N}=(l,m,0) que seja perpendicular a \mathbf{a}_{E} em Q.

Passo 2

Entendendo o que é linha de força (explicação didática).
Linhas de força (linhas de campo) são curvas tangentes ao campo em cada ponto. Se escrevemos as componentes do campo como \mathbf{E}=(E_x,E_y,E_z), as equações das linhas de força satisfazem a relação diferencial (equação paramétrica do campo):
\frac{dx}{E_x}=\frac{dy}{E_y}=\frac{dz}{E_z}.
Explicação intuitiva: se você seguir a curva cuja direção em cada ponto é a direção do vetor \mathbf{E} naquele ponto, o diferencial de posição (dx,dy,dz) está proporcional a (E_x,E_y,E_z), daí as razões iguais acima. Essa é a equação que vamos usar para a parte (a).

Passo 3

Obter as componentes explícitas de \mathbf{E} e observar E_z.
Aqui:
E_x=5x^{3},\qquad E_y=-15x^{2}y,\qquad E_z=0.
Observação importante: como E_z=0 para todo ponto, a componente z não varia ao longo de uma linha de força (porque \dfrac{dz}{E_z} seria \dfrac{dz}{0}, o que só faz sentido se dz=0). Portanto, as linhas de força ficam em planos z= constante. Logo, para a linha de força que passa por P(4,2,1) teremos z=1 ao longo da linha.

Passo 4

Montar a equação diferencial entre x e y.
Usando a igualdade das razões para x e y:
\frac{dx}{E_x}=\frac{dy}{E_y}\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{5x^{3}}=\frac{dy}{-15x^{2}y}.
Simplificamos essa igualdade para obter uma equação só em x e y. Primeiro manipulamos algebricamente:
\frac{dx}{5x^{3}}=\frac{dy}{-15x^{2}y}
multiplicando ambos os lados por 15x^{3}y (não nulo para x\neq0 e y\neq0):
3y\,dx = -x\,dy.
Reescrevendo:
\frac{dy}{y} = -3\,\frac{dx}{x}.
Comentário didático: reconhecemos uma equação separável clássica; levar o y para um lado e o x para o outro permite integrar facilmente.

Passo 5

Integrar a equação separável e obter a família de curvas.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = \int -3\,\frac{dx}{x}.
As integrais são as logaritmicas usuais:
\ln|y| = -3\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Usamos propriedades dos logaritmos para reescrever:
\ln|y| = \ln\big(|x|^{-3}\big) + C \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = \ln\big(K x^{-3}\big),
onde K=e^{C} (constante positiva, absorvendo o sinal se necessário). Assim:
y = K x^{-3}.
Isso é a família de linhas de força (para x\neq0).

Passo 6

Determinar a constante usando a condição de passagem por P(4,2,1).
Substituímos x=4 e y=2 em y=K x^{-3}:
2 = K\cdot 4^{-3} = K\cdot \frac{1}{64}.
Logo
K = 2\cdot 64 = 128.
Portanto a linha de força que passa por P é
y = 128\,x^{-3}, \qquad z=1.
Explicação prática: no papel da prova você pode também escrever y=\dfrac{128}{x^{3}},\; z=1.

Passo 7

Preparar para a parte (b): valor do campo em Q(3,-2,5).
Vamos calcular \mathbf{E} em Q substituindo x=3 e y=-2 nas componentes:
E_x(3,-2,5)=5\cdot 3^{3}=5\cdot 27=135,
E_y(3,-2,5)=-15\cdot 3^{2}\cdot(-2)=-15\cdot 9\cdot(-2)= -135\cdot(-2)=270,
E_z(3,-2,5)=0.
Logo
\mathbf{E}(Q) = 135\,\mathbf{a}_{x}+270\,\mathbf{a}_{y}+0\,\mathbf{a}_{z}.

Passo 8

Encontrar o vetor unitário na direção de \mathbf{E} em Q (explicação didática sobre normalização).
Para obter um vetor unitário na direção de um vetor dado \mathbf{v}, dividimos \mathbf{v} pela sua norma \|\mathbf{v}\|. A norma de um vetor (v_x,v_y,v_z) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
No nosso caso:
\|\mathbf{E}(Q)\|=\sqrt{135^{2}+270^{2}+0^{2}}.
Fatoramos 135^{2}:
\|\mathbf{E}(Q)\|=135\sqrt{1^{2}+2^{2}}=135\sqrt{1+4}=135\sqrt{5}.
Então o vetor unitário \mathbf{a}_{g} (na mesma direção que \mathbf{E}(Q)) é
\mathbf{a}_{g}=\frac{\mathbf{E}(Q)}{\|\mathbf{E}(Q)\|} =\frac{135\,\mathbf{a}_{x}+270\,\mathbf{a}_{y}}{135\sqrt{5}} =\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathbf{a}_{x}+\frac{2}{\sqrt{5}}\,\mathbf{a}_{y}.
Comentário prático: sempre verifique que o quadrado das componentes dá 1 quando somado (aqui (1/\sqrt{5})^{2}+(2/\sqrt{5})^{2}=1/5+4/5=1).

Passo 9

Parte (c): encontrar \mathbf{a}_{N}=(l,m,0) unitário e perpendicular a \mathbf{a}_{E} em Q (explicação didática sobre perpendicularidade).
Duas condições devem valer:
  1. perpendicularidade: o produto escalar com \mathbf{E}(Q) deve ser zero:
\mathbf{a}_{N}\cdot \mathbf{E}(Q)=0 \quad\Rightarrow\quad 135\,l+270\,m+0\cdot 0=0.
Divide-se por 135 para simplificar:
l+2m=0 \quad\Rightarrow\quad l=-2m.
  1. normalização: \mathbf{a}_{N} tem norma 1:
l^{2}+m^{2}+0^{2}=1.
Substituindo l=-2m:
(-2m)^{2}+m^{2}=4m^{2}+m^{2}=5m^{2}=1.
Portanto
m=\pm\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad l=-2m=\mp\frac{2}{\sqrt{5}}.
Logo existem duas direções unitárias perpendiculares (opostas entre si):
\mathbf{a}_{N}=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}},\;0\right) \quad\text{ou}\quad \mathbf{a}_{N}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\;-\frac{1}{\sqrt{5}},\;0\right).
Explicação prática: qualquer uma das duas serve, pois são opostas e ambas têm módulo 1 e são ortogonais a \mathbf{E}(Q).

Resposta

(a) y=128\,x^{-3},\quad z=1.
(b) \displaystyle \mathbf{a}_{g}=\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathbf{a}_{x}+\frac{2}{\sqrt{5}}\,\mathbf{a}_{y}.
(c) \displaystyle \mathbf{a}_{N}=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}},\;0\right) ou \displaystyle \mathbf{a}_{N}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\;-\frac{1}{\sqrt{5}},\;0\right).

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