5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a primitiva mais geral da função
e conferir a resposta derivando-a.
Informações dadas:
(função racional) e o domínio é
.
Pergunta: encontrar uma função tal que
, isto é, a primitiva geral de
(com constante de integração).
Informações dadas:
Pergunta: encontrar uma função
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador por
para obter uma soma de termos simples, porque é mais fácil integrar termo a termo usando a linearidade da integral. A conta é:
Agora simplificamos cada fração:
Portanto:
Passo 3
Agora usamos a propriedade da integral que permite integrar soma termo a termo:
Lembrete das fórmulas que vamos usar (explicando cada uma):
- Para constante
, . Aqui é um número real e é a variável de integração. - Regra do logaritmo:
. Como o domínio dado é , podemos usar em vez de . - Regra da potência (para
): . Aqui é um número real diferente de .
Passo 4
Aplicando as fórmulas termo a termo:
-
. (Constante multiplicada por .) -
Como , escrevemos . Como o sinal no integrando é negativo, fica . -
. Pela regra da potência com ,
Multiplicando por
dá
, que é
.
Somando tudo e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 5
Conferência: derivamos
para checar se volta a
.
Derivadas termo a termo:
-
. -
. -
.
Somando:
que é exatamente a forma simplificada de
que obtivemos no Passo 2. Portanto a primitiva está correta.