5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
f(x)=\frac{5 x^{2}-6 x+4}{x^{2}}, \quad x>0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a primitiva mais geral da função \;f(x)=\frac{5x^{2}-6x+4}{x^{2}},\;x>0\; e conferir a resposta derivando-a.
Informações dadas:
\;f(x)=\dfrac{5x^{2}-6x+4}{x^{2}} (função racional) e o domínio é \;x>0.
Pergunta: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x), isto é, a primitiva geral de f (com constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador por \;x^{2} para obter uma soma de termos simples, porque é mais fácil integrar termo a termo usando a linearidade da integral. A conta é:
\frac{5x^{2}-6x+4}{x^{2}}= \frac{5x^{2}}{x^{2}} - \frac{6x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}
Agora simplificamos cada fração:
\frac{5x^{2}}{x^{2}}=5,\qquad \frac{6x}{x^{2}}=\frac{6}{x},\qquad \frac{4}{x^{2}}=4x^{-2}.
Portanto:
\frac{5x^{2}-6x+4}{x^{2}}=5-\frac{6}{x}+4x^{-2}.

Passo 3

Agora usamos a propriedade da integral que permite integrar soma termo a termo:
\int\left(5-\frac{6}{x}+4x^{-2}\right)\,dx=\int 5\,dx - \int \frac{6}{x}\,dx + \int 4x^{-2}\,dx.
Lembrete das fórmulas que vamos usar (explicando cada uma):
  • Para constante a, \displaystyle \int a\,dx = a x + C. Aqui a é um número real e x é a variável de integração.
  • Regra do logaritmo: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Como o domínio dado é \;x>0, podemos usar \ln x em vez de \ln|x|.
  • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n é um número real diferente de -1.

Passo 4

Aplicando as fórmulas termo a termo:
  1. \displaystyle \int 5\,dx = 5x. (Constante multiplicada por x.)
  2. \displaystyle \int \frac{6}{x}\,dx = 6\int \frac{1}{x}\,dx = 6\ln|x|. Como \;x>0, escrevemos 6\ln x. Como o sinal no integrando é negativo, fica -6\ln x.
  3. \displaystyle \int 4x^{-2}\,dx = 4\int x^{-2}\,dx. Pela regra da potência com n=-2,
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Multiplicando por 4 -4x^{-1}, que é -\dfrac{4}{x}.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=5x-6\ln x - \frac{4}{x} + C.

Passo 5

Conferência: derivamos F(x) para checar se volta a f(x).
Derivadas termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(5x)=5.
  • \dfrac{d}{dx}(-6\ln x)=-6\cdot\frac{1}{x}=-\dfrac{6}{x}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{4}{x}\right)=\dfrac{d}{dx}(-4x^{-1})=-4\cdot(-1)x^{-2}=4x^{-2}=\dfrac{4}{x^{2}}.
Somando:
F'(x)=5-\frac{6}{x}+\frac{4}{x^{2}},
que é exatamente a forma simplificada de \;f(x)=\dfrac{5x^{2}-6x+4}{x^{2}} que obtivemos no Passo 2. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\;F(x)=5x-6\ln x-\dfrac{4}{x}+C

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