5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a primitiva mais geral da função” dada por
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Pergunta a responder: encontrar uma função
tal que
, ou seja, a primitiva mais geral de
. A primitiva deve aparecer com a constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função é uma função
cuja derivada é
:
. Para potências de
com expoente
, existe a regra de potência para antiderivação:
Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função
Aqui
é a variável (no nosso caso
),
é o expoente, e
é a constante de integração (qualquer número real). A razão dessa fórmula vem de inverter a regra da derivada da potência: a derivada de
é
, então ao dividir por
recuperamos
.
Regra para constantes: multiplicadores constantes saem da integral:
onde
é constante.
Observação importante: a fórmula acima não vale quando
(pois daí teríamos divisão por zero); esse caso especial leva ao logaritmo natural.
Passo 3
Aplicando a regra ao primeiro termo
.
Temos uma constante multiplicando a potência:
é constante e o expoente é
. Usando a propriedade linear e a regra de potência:
Agora calculamos o expoente somando
:
Então:
Passo 4
Simplificando o coeficiente do primeiro termo: calcular
.
Transformando em frações é mais claro:
. Então
Portanto o primeiro termo da primitiva fica
Passo 5
Aplicando a regra ao segundo termo
.
Aqui o coeficiente é
e o expoente é
. Como
, usamos a fórmula:
Calcule o novo expoente:
Então
Passo 6
Simplificando o coeficiente do segundo termo: calcular
.
Escrevendo em frações:
. Então
Portanto o segundo termo da primitiva é
Passo 7
Juntando os dois resultados e reunindo as constantes de integração em uma só constante
, obtemos a primitiva mais geral:
Passo 8
Verificação (derivando
para conferir que volta em
).
Derivada do primeiro termo:
Calcule o produto dos números:
Logo
Derivada do segundo termo:
Calcule o produto:
Então
Somando as derivadas e lembrando que a derivada da constante é zero, obtemos:
ou seja, a verificação está correta.