5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
h(z)=3 z^{0,8}+z^{-2,5}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a primitiva mais geral da função” dada por h(z)=3\,z^{0,8}+z^{-2,5}.
Informações fornecidas:
h(z)=3\,z^{0,8}+z^{-2,5}.
Pergunta a responder: encontrar uma função H(z) tal que H'(z)=h(z), ou seja, a primitiva mais geral de h. A primitiva deve aparecer com a constante arbitrária de integração \,C.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função f é uma função F cuja derivada é f: F'(x)=f(x). Para potências de x com expoente n\neq -1, existe a regra de potência para antiderivação:
\text{Se }n\neq -1,\quad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável (no nosso caso z), n é o expoente, e C é a constante de integração (qualquer número real). A razão dessa fórmula vem de inverter a regra da derivada da potência: a derivada de x^{n+1} é (n+1)x^{n}, então ao dividir por n+1 recuperamos x^{n}.
Regra para constantes: multiplicadores constantes saem da integral:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot\int f(x)\,dx,
onde a é constante.
Observação importante: a fórmula acima não vale quando n=-1 (pois daí teríamos divisão por zero); esse caso especial leva ao logaritmo natural.

Passo 3

Aplicando a regra ao primeiro termo 3\,z^{0,8}.
Temos uma constante multiplicando a potência: 3 é constante e o expoente é n=0,8. Usando a propriedade linear e a regra de potência:
\int 3\,z^{0,8}\,dz = 3\cdot\int z^{0,8}\,dz = 3\cdot\frac{z^{0,8+1}}{0,8+1}+C_1.
Agora calculamos o expoente somando 1:
0,8+1=1,8.
Então:
\int 3\,z^{0,8}\,dz = 3\cdot\frac{z^{1,8}}{1,8}+C_1.

Passo 4

Simplificando o coeficiente do primeiro termo: calcular 3\div 1,8.
Transformando em frações é mais claro: 1,8=\tfrac{9}{5}. Então
\frac{3}{1,8}=\frac{3}{9/5}=3\cdot\frac{5}{9}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}.
Portanto o primeiro termo da primitiva fica
\frac{5}{3}\,z^{1,8}.

Passo 5

Aplicando a regra ao segundo termo z^{-2,5}.
Aqui o coeficiente é 1 e o expoente é n=-2,5. Como n\neq -1, usamos a fórmula:
\int z^{-2,5}\,dz = \frac{z^{-2,5+1}}{-2,5+1}+C_2.
Calcule o novo expoente:
-2,5+1=-1,5.
Então
\int z^{-2,5}\,dz = \frac{z^{-1,5}}{-1,5}+C_2.

Passo 6

Simplificando o coeficiente do segundo termo: calcular \dfrac{1}{-1,5}.
Escrevendo em frações: -1,5=-\tfrac{3}{2}. Então
\frac{1}{-1,5}=\frac{1}{-3/2}= -\frac{2}{3}.
Portanto o segundo termo da primitiva é
-\frac{2}{3}\,z^{-1,5}.

Passo 7

Juntando os dois resultados e reunindo as constantes de integração em uma só constante \,C, obtemos a primitiva mais geral:
H(z)=\frac{5}{3}\,z^{1,8}-\frac{2}{3}\,z^{-1,5}+C.

Passo 8

Verificação (derivando H para conferir que volta em h).
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{5}{3}\,z^{1,8}\right)=\frac{5}{3}\cdot 1,8\,z^{1,8-1}=\frac{5}{3}\cdot 1,8\,z^{0,8}.
Calcule o produto dos números: \frac{5}{3}\cdot 1,8 = \frac{5}{3}\cdot \frac{9}{5}= \frac{9}{3}=3. Logo
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{5}{3}\,z^{1,8}\right)=3\,z^{0,8}.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dz}\!\left(-\frac{2}{3}\,z^{-1,5}\right)=-\frac{2}{3}\cdot(-1,5)\,z^{-1,5-1}=-\frac{2}{3}\cdot(-1,5)\,z^{-2,5}.
Calcule o produto: -\frac{2}{3}\cdot(-1,5)=\frac{2}{3}\cdot 1,5=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=1. Então
\frac{d}{dz}\!\left(-\frac{2}{3}\,z^{-1,5}\right)=z^{-2,5}.
Somando as derivadas e lembrando que a derivada da constante é zero, obtemos:
H'(z)=3\,z^{0,8}+z^{-2,5}=h(z),
ou seja, a verificação está correta.

Resposta

H(z)=\frac{5}{3}\,z^{1,8}-\frac{2}{3}\,z^{-1,5}+C

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