5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral da função
e conferir a resposta derivando-a.
Informações dadas: a função é .
O que se pede: encontrar uma função tal que
para todo
no domínio (ou seja, a primitiva geral) e verificar derivando.
Informações dadas: a função é
O que se pede: encontrar uma função
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos):
- A primitiva (ou antiderivada) de uma função
é uma função tal que . A primitiva mais geral tem um termo constante porque a derivada de uma constante é zero. - Regra da soma e da constante:
e para constante . Isso significa que podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral. - Regra do poder (para integrar potências): para
,
Aqui
é o expoente da potência e
é a constante de integração.
- Integral do exponencial:
. - Integral de constante:
, onde é constante.
Vou aplicar essas regras termo a termo em
.
Passo 3
Integrando o primeiro termo
. Primeiro reescrevo como potência:
Agora uso a regra do poder com
. Aplicando
Faço a conta
. Logo o resultado é
Observação: esse
é um dos infinitos, depois vamos juntar em só um.
Passo 4
Integrando o segundo termo
. Uso a regra da constante e a integral do exponencial:
Explicação rápida: a derivada de
é
, então sua primitiva é
; o fator
sai como multiplicador.
Passo 5
Integrando o terceiro termo
(constante). Pela fórmula da integral de constante:
Passo 6
Agora junto tudo (regra da soma). Somamos as primitivas dos três termos e combinamos as constantes num único
:
Escrevendo de forma mais comum:
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Conferindo: derivo
e verifico se obtenho
. Derivadas termo a termo:
-
Derivada de
: use a regra do poder. . -
Derivada de
: . -
Derivada de
: . -
Derivada de
é .
Somando as derivadas:
que é exatamente
. Confere!
Passo 8
Dica rápida para a prova: reescreva potências como
(com
inteiro negativo se necessário), aplique a regra do poder, cuide dos sinais ao dividir por
e sempre cheque derivando rápido. Você já chegou lá — me dê 5, é só praticar alguns desses e fica automático.