5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
f(x)=\frac{10}{x^{6}}-2 e^{x}+3

Passo 1

O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral da função \,f(x)=\dfrac{10}{x^{6}}-2 e^{x}+3\, e conferir a resposta derivando-a.
Informações dadas: a função é \,f(x)=\dfrac{10}{x^{6}}-2 e^{x}+3\,.
O que se pede: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) para todo x no domínio (ou seja, a primitiva geral) e verificar derivando.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos):
  • A primitiva (ou antiderivada) de uma função f é uma função F tal que F'(x)=f(x). A primitiva mais geral tem um termo constante C porque a derivada de uma constante é zero.
  • Regra da soma e da constante: \displaystyle \int\big(a(x)+b(x)\big)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx e \displaystyle \int k\cdot g(x)\,dx=k\int g(x)\,dx para constante k. Isso significa que podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.
  • Regra do poder (para integrar potências): para \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente da potência e C é a constante de integração.
  • Integral do exponencial: \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x}+C.
  • Integral de constante: \displaystyle \int a\,dx = a x + C, onde a é constante.
Vou aplicar essas regras termo a termo em f(x).

Passo 3

Integrando o primeiro termo \dfrac{10}{x^{6}}. Primeiro reescrevo como potência:
\frac{10}{x^{6}}=10x^{-6}.
Agora uso a regra do poder com n=-6. Aplicando
\int 10x^{-6}\,dx = 10\int x^{-6}\,dx = 10\cdot\frac{x^{-6+1}}{-6+1}+C = 10\cdot\frac{x^{-5}}{-5}+C.
Faço a conta 10\cdot\frac{1}{-5}=-2. Logo o resultado é
\int \frac{10}{x^{6}}\,dx = -2 x^{-5} + C = -\frac{2}{x^{5}}+C.
Observação: esse C é um dos infinitos, depois vamos juntar em só um.

Passo 4

Integrando o segundo termo -2 e^{x}. Uso a regra da constante e a integral do exponencial:
\int -2 e^{x}\,dx = -2\int e^{x}\,dx = -2 e^{x} + C.
Explicação rápida: a derivada de e^{x} é e^{x}, então sua primitiva é e^{x}; o fator -2 sai como multiplicador.

Passo 5

Integrando o terceiro termo 3 (constante). Pela fórmula da integral de constante:
\int 3\,dx = 3x + C.

Passo 6

Agora junto tudo (regra da soma). Somamos as primitivas dos três termos e combinamos as constantes num único C:
F(x) = -2 x^{-5} - 2 e^{x} + 3x + C.
Escrevendo de forma mais comum:
F(x) = -\frac{2}{x^{5}} - 2e^{x} + 3x + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Conferindo: derivo F(x) e verifico se obtenho f(x). Derivadas termo a termo:
  • Derivada de -2 x^{-5}: use a regra do poder. \dfrac{d}{dx}\big(-2 x^{-5}\big) = -2\cdot(-5)x^{-6} = 10x^{-6} = \dfrac{10}{x^{6}}.
  • Derivada de -2 e^{x}: \dfrac{d}{dx}\big(-2 e^{x}\big) = -2 e^{x}.
  • Derivada de 3x: \dfrac{d}{dx}(3x)=3.
  • Derivada de C é 0.
Somando as derivadas:
F'(x)=\frac{10}{x^{6}}-2 e^{x}+3,
que é exatamente f(x). Confere!

Passo 8

Dica rápida para a prova: reescreva potências como x^{n} (com n inteiro negativo se necessário), aplique a regra do poder, cuide dos sinais ao dividir por n+1 e sempre cheque derivando rápido. Você já chegou lá — me dê 5, é só praticar alguns desses e fica automático.

Resposta

-\dfrac{2}{x^{5}}-2e^{x}+3x+C

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