5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
f(x)=\frac{2}{5 x}-\frac{3}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral (ou seja, uma antiderivada geral) da função f e conferir a resposta derivando-a.
Informações dadas: f(x)=\frac{2}{5x}-\frac{3}{x^{2}}.

Passo 2

Primeiro reescrevo f usando potências para trabalhar com as regras usuais de integração:
f(x)=\frac{2}{5}x^{-1}-3x^{-2}.
Aqui transformei \frac{1}{x} em x^{-1} e \frac{1}{x^{2}} em x^{-2}. Isso facilita aplicar a regra da potência.

Passo 3

Lembrete prático das regras que vamos usar (explicando cada símbolo):
\text{(linearidade)}\quad \int\big(a\cdot g(x)+b\cdot h(x)\big)\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx,
em que a,b são constantes e g,h são funções; isso diz que podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.
Regra da potência (para n\neq -1):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é um número real (e C é a constante de integração). Aqui x^{n} é a função a integrar e n+1 aparece no denominador.
Caso especial n=-1:
\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Isso acontece porque a fórmula da potência dá divisão por zero quando n=-1, e o resultado correto é o logaritmo natural do valor absoluto de x.

Passo 4

Agora aplico as regras termo a termo à função reescrita.
Termo 1: \displaystyle \frac{2}{5}x^{-1}. Aqui x^{-1} é o caso especial n=-1, então
\int \frac{2}{5}x^{-1}\,dx = \frac{2}{5}\int x^{-1}\,dx = \frac{2}{5}\ln|x|.
Explanação: puxei a constante \frac{2}{5} para fora e usei \int x^{-1}dx=\ln|x|+C.
Termo 2: \displaystyle -3x^{-2}. Aqui n=-2 (que é diferente de -1), aplico a regra da potência:
\int -3x^{-2}\,dx = -3\int x^{-2}\,dx = -3\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = 3x^{-1}.
Detalhe do cálculo: \int x^{-2}dx = x^{-1}/(-1); multiplicando por -3 resulta em 3x^{-1}, que podemos escrever como \frac{3}{x}.

Passo 5

Somando as primitivas dos dois termos e lembrando da constante de integração C, obtemos uma primitiva geral:
F(x)=\frac{2}{5}\ln|x|+\frac{3}{x}+C.

Passo 6

Conferência: derivo F(x) passo a passo para verificar que volto a f(x).
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{5}\ln|x|\right)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{5x}.
(Usamos que \frac{d}{dx}\ln|x|=1/x para x\neq 0.)
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{x}\right)=\frac{d}{dx}\big(3x^{-1}\big)=3\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{3}{x^{2}}.
Somando as derivadas:
\frac{2}{5x}-\frac{3}{x^{2}},
que é exatamente f(x). Portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\ln|x|+\frac{3}{x}+C

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