5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral (ou seja, uma antiderivada geral) da função
e conferir a resposta derivando-a.
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro reescrevo
usando potências para trabalhar com as regras usuais de integração:
Aqui transformei
em
e
em
. Isso facilita aplicar a regra da potência.
Passo 3
Lembrete prático das regras que vamos usar (explicando cada símbolo):
em que
são constantes e
são funções; isso diz que podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.
Regra da potência (para
):
onde
é um número real (e
é a constante de integração). Aqui
é a função a integrar e
aparece no denominador.
Caso especial
:
Isso acontece porque a fórmula da potência dá divisão por zero quando
, e o resultado correto é o logaritmo natural do valor absoluto de
.
Passo 4
Agora aplico as regras termo a termo à função reescrita.
Termo 1:
. Aqui
é o caso especial
, então
Explanação: puxei a constante
para fora e usei
.
Termo 2:
. Aqui
(que é diferente de
), aplico a regra da potência:
Detalhe do cálculo:
; multiplicando por
resulta em
, que podemos escrever como
.
Passo 5
Somando as primitivas dos dois termos e lembrando da constante de integração
, obtemos uma primitiva geral:
Passo 6
Conferência: derivo
passo a passo para verificar que volto a
.
Derivada do primeiro termo:
(Usamos que
para
.)
Derivada do segundo termo:
Somando as derivadas:
que é exatamente
. Portanto a primitiva encontrada está correta.