5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
f(x)=\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{x} e pede a primitiva mais geral (ou seja, uma antiderivada geral) de f.
Informações relevantes dadas:
\sqrt[4]{5} é uma constante (número), e \sqrt[4]{x} é x elevado a 1/4.
Objetivo: encontrar F(x) tal que F'(x)=f(x), e apresentar a constante arbitrária C.

Passo 2

Revisão das regras de integração que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Regra da linearidade: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx.
  1. Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral. Ou seja, se a é constante,
\int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx.
  1. Regra do poder (power rule) para n\neq -1:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é um número real (no nosso caso n=\tfrac{1}{4}). A letra C representa a constante de integração (qualquer constante).

Passo 3

Aplicando linearidade e fator constante à nossa função:
\int f(x)\,dx = \int \sqrt[4]{5}\,dx + \int \sqrt[4]{x}\,dx.
Observe que \sqrt[4]{5}=5^{1/4} é constante, então pela regra do fator constante teremos para o primeiro termo:
\int \sqrt[4]{5}\,dx = \sqrt[4]{5}\int 1\,dx = \sqrt[4]{5}\,x + C_1.

Passo 4

Agora o segundo termo: escrever \sqrt[4]{x} como potência,
\sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
Aplicando a regra do poder com n=\tfrac{1}{4}, temos n+1=\tfrac{5}{4}, então
\int x^{1/4}\,dx = \frac{x^{5/4}}{5/4} + C_2.
Dividir por 5/4 é o mesmo que multiplicar por 4/5, portanto
\int x^{1/4}\,dx = \frac{4}{5}\,x^{5/4} + C_2.

Passo 5

Somando as duas partes e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante arbitrária C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=\sqrt[4]{5}\,x+\frac{4}{5}\,x^{5/4}+C.
Verificação (derivando para conferir):
Derivando F(x),
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt[4]{5}\,x\bigr)+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{4}{5}x^{5/4}\right).
A primeira derivada é \sqrt[4]{5}. A segunda, pela regra do poder, é
\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{4}x^{1/4}=x^{1/4}.
Somando, F'(x)=\sqrt[4]{5}+x^{1/4}, que é exatamente f(x). Portanto a primitiva está correta.

Resposta

F(x)=\sqrt[4]{5}\,x+\frac{4}{5}\,x^{5/4}+C

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