5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a primitiva mais geral (ou seja, uma antiderivada geral) de
.
Informações relevantes dadas:
é uma constante (número), e
é
elevado a
.
Objetivo: encontrar tal que
, e apresentar a constante arbitrária
.
Informações relevantes dadas:
Objetivo: encontrar
Passo 2
Revisão das regras de integração que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
- Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral. Ou seja, se
é constante,
- Regra do poder (power rule) para
:
Aqui
é um número real (no nosso caso
). A letra
representa a constante de integração (qualquer constante).
Passo 3
Aplicando linearidade e fator constante à nossa função:
Observe que
é constante, então pela regra do fator constante teremos para o primeiro termo:
Passo 4
Agora o segundo termo: escrever
como potência,
Aplicando a regra do poder com
, temos
, então
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, portanto
Passo 5
Somando as duas partes e juntando as constantes
e
numa única constante arbitrária
, obtemos a primitiva geral:
Verificação (derivando para conferir):
Derivando ,
Derivando
A primeira derivada é
. A segunda, pela regra do poder, é
Somando,
, que é exatamente
. Portanto a primitiva está correta.