Encontre as funções
soluções do sistema
Passo 1
O enunciado pede que encontremos as funções
que satisfazem o sistema
Informações relevantes fornecidas:
- •
e são funções de uma variável (que chamaremos de ) definidas em um intervalo . - •Temos um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem, com coeficientes constantes.
- •O objetivo é obter a solução geral (ou seja, as funções
e contendo as constantes arbitrárias que representam condições iniciais).
Passo 2
Reescrevemos o sistema em forma matricial para organizar e facilitar a resolução. Definimos o vetor
e a matriz dos coeficientes
. Então
onde
Aqui
é o vetor das derivadas
. Escrever assim é útil porque agora podemos buscar soluções onde a dependência em
aparece como exponenciais, o que reduz o problema a um problema algébrico.]
Passo 3
Procuramos soluções do tipo
, onde
é um vetor constante (não nulo) e
é um número real (ou complexo). Por que isso funciona? Porque ao derivar obtemos
e substituindo em
obtemos
Dividindo por
(que nunca é zero) chega-se ao problema algébrico
ou seja,
e
devem ser autovalor e autovetor da matriz
. Portanto precisamos achar os autovalores (valores próprios) de
.
Passo 4
Calculamos os autovalores resolvendo o polinômio característico
. Fazemos as contas passo a passo:
O determinante é
Desenvolvendo:
Impondo
obtemos a equação quadrática
Resolvendo a quadrática (fórmula ou fatoração), fatoramos como
portanto os autovalores são
Passo 5
Agora encontramos um autovetor associado a cada autovalor, resolvendo
.
Para
:
Resolvendo
dá a equação
, isto é
. Podemos escolher
para simplicidade, obtendo o autovetor
Para
:
Resolvendo
dá
, ou seja
. Escolhendo
obtemos o autovetor
Passo 6
Como os dois autovalores são distintos e temos dois autovetores linearmente independentes, a solução geral do sistema é a combinação linear das soluções elementares
e
. Assim
onde
e
são constantes reais arbitrárias (dependendo de condições iniciais se houver). Separando as componentes, obtemos
Passo 7
É bom verificar rapidamente que isso realmente satisfaz o sistema. Calculamos as derivadas:
Agora computamos
:
que coincide com
. E para a segunda equação:
que coincide com
. Portanto a solução está correta.
Passo 8
Resumo rápido e incentivo: a técnica essencial foi procurar soluções exponenciais do tipo
, transformar o problema em achar autovalores/autovetores de uma matriz 2×2 e combinar as soluções correspondentes. Você já tem uma fórmula prática para usar na prova: achar
resolvendo
, achar vetores não nulos
e montar a combinação linear com constantes livres. Dá para praticar esse mesmo esquema com outras matrizes 2×2 — é direto e salva bastante tempo na prova. Vai dar certo, respira fundo e confia no treino!