2 (Movimento em uma dimensão - 2,0 pontos) Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e está a 50 m acima do solo quando um tripulante deixa cair uma pedra.
(a) Quanto tempo a pedra leva para a tingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao tingir o solo?
Use g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Altura inicial: } y_0=50\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Velocidade inicial (do balão, para cima): } v_0=15\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{Aceleração da gravidade: } g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}ãçã
Perguntas do enunciado:
\text{(a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo?}
\text{(b) Qual a velocidade da pedra ao atingir o solo?}
Observação: a pedra é largada do balão com a mesma velocidade do balão no instante da soltura.

Passo 2

Escolhemos um referencial vertical com origem no solo e eixo vertical positivo para cima. Vamos explicar a fórmula que vamos usar.
Para movimento retilíneo com aceleração constante (aqui a aceleração é a gravidade, apontando para baixo), a posição vertical em função do tempo é dada por
y(t)=y_0+v_0 t+\tfrac{1}{2}a t^2,
onde:
\begin{aligned} &y(t)\\ \text{é a posição no instante }t,\\\ &y_0\\ \text{é a posição inicial (aqui }50\\ \mathrm{m}\text{)},\\\ &v_0\\ \text{é a velocidade inicial (aqui }15\\ \mathrm{m/s}\text{, positiva para cima)},\\\ &a\\ \text{é a aceleração (aqui }a=-g=-9,8\\ \mathrm{m/s^2}\text{)}. \end{aligned}éçãéçãééçã
Para achar o tempo de queda, impomos que a pedra atinge o solo em y(t)=0 e resolvemos para t. Para a velocidade em um instante t usamos a relação
v(t)=v_0+a t,
que dá a velocidade instantânea no movimento com aceleração constante.

Passo 3

Aplicando a expressão da posição com os valores dados:
y(t)=50+15t-\tfrac{1}{2}\cdot 9,8\\ t^2.
Como \tfrac{1}{2}\cdot 9,8=4,9, a equação fica
y(t)=50+15t-4,9\,t^2.
Impondo y(t)=0 (a pedra atinge o solo), obtemos a equação quadrática
50+15t-4,9\,t^2=0.

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão (coeficiente de t^2 positivo):
4,9\,t^2-15t-50=0.
Aqui os coeficientes são:
a=4,9,\quad b=-15,\quad c=-50.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Calculamos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=(-15)^2-4\cdot 4,9\cdot(-50)=225+980=1205.
Portanto
t=\frac{15\pm\sqrt{1205}}{2\cdot 4,9}=\frac{15\pm\sqrt{1205}}{9,8}.

Passo 5

Agora avaliamos as duas possíveis raízes. Primeiro calculamos \sqrt{1205}. Aproximando:
\sqrt{1205}\approx 34,711.
As duas raízes são
t_1=\frac{15+34,711}{9,8}\approx\frac{49,711}{9,8}\approx 5,073\\ \mathrm{s},
t_2=\frac{15-34,711}{9,8}\approx\frac{-19,711}{9,8}\approx -2,012\\ \mathrm{s}.
Descartamos t_2 porque é negativa (tempo anterior ao instante de soltura). Assim o tempo físico de queda é
t\approx 5,07\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Agora calculamos a velocidade no instante do impacto usando
v(t)=v_0+a t=15-9,8\,t,
(substituímos a=-9,8 e v_0=15). Usando t\approx 5,073\\ \mathrm{s}:
v(5,073)\approx 15-9,8\cdot 5,073\approx 15-49,715\approx -34,715\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo. Em módulo (velocidade escalar) isto é aproximadamente 34,7\\ \mathrm{m/s} para baixo.

Resposta

t\approx 5,07\\ \mathrm{s}
v\approx -34,7\\ \mathrm{m/s} (ou seja, 34,7\\ \mathrm{m/s} para baixo)

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