2 (Movimento em uma dimensão - 2,0 pontos) Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de
e está a 50 m acima do solo quando um tripulante deixa cair uma pedra.
(a) Quanto tempo a pedra leva para a tingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao tingir o solo?
Use
.
(a) Quanto tempo a pedra leva para a tingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao tingir o solo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
Perguntas do enunciado:
Observação: a pedra é largada do balão com a mesma velocidade do balão no instante da soltura.
Passo 2
Escolhemos um referencial vertical com origem no solo e eixo vertical positivo para cima. Vamos explicar a fórmula que vamos usar.
Para movimento retilíneo com aceleração constante (aqui a aceleração é a gravidade, apontando para baixo), a posição vertical em função do tempo é dada por
onde:
Para achar o tempo de queda, impomos que a pedra atinge o solo em
e resolvemos para
. Para a velocidade em um instante
usamos a relação
que dá a velocidade instantânea no movimento com aceleração constante.
Passo 3
Aplicando a expressão da posição com os valores dados:
Como
, a equação fica
Impondo
(a pedra atinge o solo), obtemos a equação quadrática
Passo 4
Reescrevendo em forma padrão (coeficiente de
positivo):
Aqui os coeficientes são:
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Calculamos o discriminante:
Portanto
Passo 5
Agora avaliamos as duas possíveis raízes. Primeiro calculamos
. Aproximando:
As duas raízes são
Descartamos
porque é negativa (tempo anterior ao instante de soltura). Assim o tempo físico de queda é
Passo 6
Agora calculamos a velocidade no instante do impacto usando
(substituímos
e
). Usando
:
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo. Em módulo (velocidade escalar) isto é aproximadamente
para baixo.