e pede a solução y(t) para todo t. As informações relevantes que recebemos são:
\text{(i) A equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: }y''+3y'+2y=\dots
\text{(ii) Condições iniciais: }y(0)=0\text{ e }y'(0)=1.
\text{(iii) O termo de forçamento é }u_{2}(t).
Vou usar a notação usual para função degrau deslocada: \displaystyle u_{2}(t)=u(t-2), isto é, a função degrau unitária que vale 0 para t<2 e 1 para t\ge2. A meta é encontrar explicitamente y(t) em função de t.
Passo 2
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Antes, lembro duas fórmulas fundamentais (e explico o que significam):
Essas fórmulas vêm da integração por partes e mostram como as condições iniciais entram na álgebra de s-domínio. Também usamos a linearidade: \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
Somando a parte homogênea (do passo 5) e a parte deslocada (do passo 7) obtemos a solução completa:
y(t)=\underbrace{e^{-t}-e^{-2t}}_{\text{parte sem degrau}} \;+\; \underbrace{u(t-2)\left(\frac{1}{2}-e^{-(t-2)}+\frac{1}{2}e^{-2(t-2)}\right)}_{\text{parte gerada pelo degrau em }t=2}.
Verificação rápida das condições iniciais (só para confirmar): para 0\le t<2 o termo com u(t-2) é nulo, logo y(t)=e^{-t}-e^{-2t}. Assim y(0)=1-1=0 e y'(t)=-e^{-t}+2e^{-2t} dá y'(0)=-1+2=1, que coincide com as condições iniciais, ótimo.