26- Qual deve ser a profundidade que um corpo deve atingir na água cuja densidade é de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, para que atue sobre ele uma pressão de 2atm? (Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a profundidade h dentro da água necessária para que a pressão sobre um corpo seja de 2\\ \mathrm{atm}. Dados fornecidos:
  • densidade da água: \rho = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (peguei do enunciado);
  • pressão desejada: p = 2\\ \mathrm{atm} (peguei do enunciado);
  • aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (peguei do enunciado).
    O que se pede: a profundidade h medida em metros (m).

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): a pressão absoluta a uma profundidade h em um líquido em repouso é dada pela soma da pressão atmosférica na superfície com a pressão hidrostática causada pela coluna de líquido acima do ponto. A fórmula é:
p = p_{0} + \rho g h,
onde:
  • p é a pressão absoluta no ponto que queremos (aqui 2\\ \mathrm{atm});
  • p_{0} é a pressão atmosférica na superfície (valendo 1\\ \mathrm{atm} ao nível do mar);
  • \rho é a densidade do líquido ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3});
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2});
  • h é a profundidade ( \mathrm{m}), que é o que queremos achar.
Explicando em palavras simples: a cada metro de profundidade a coluna de água “pesa” sobre o ponto e aumenta a pressão em \rho g por metro. Para dobrar a pressão absoluta de 1\\ \mathrm{atm} para 2\\ \mathrm{atm} precisamos de uma coluna cuja pressão hidrostática valha exatamente 1\\ \mathrm{atm}.

Passo 3

Isolando h na fórmula:
\rho g h = p - p_{0}
h = \frac{p - p_{0}}{\rho g}.
Aqui p - p_{0} é o acréscimo de pressão necessário além da pressão atmosférica; no nosso caso p - p_{0} = 2\\ \mathrm{atm} - 1\\ \mathrm{atm} = 1\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Converter a diferença de pressão para unidades SI (Pascal). Usaremos a aproximação comum
1\\ \mathrm{atm} = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
p - p_{0} = 1\\ \mathrm{atm} = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Substituindo os valores na expressão de h:
h = \frac{1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}}{(1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3})(10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2})}.
Fazendo as contas passo a passo:
\rho g = 1000\times10 = 1{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{2}) = 1{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}.
Então
h = \frac{1{,}0\times10^{5}}{1{,}0\times10^{4}} = 10\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação curta e checagem: a profundidade encontrada indica que, aproximadamente a cada 10\\ \mathrm{m} de água, a pressão aumenta cerca de 1\\ \mathrm{atm} (com as aproximações usadas). Assim, a 10\\ \mathrm{m} abaixo da superfície a pressão absoluta é 1\\ \mathrm{atm} (superfície) + 1\\ \mathrm{atm} (coluna de água) = 2\\ \mathrm{atm}, como pedido.

Resposta

10\\ \mathrm{m}

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