27- Para determinar a pressão atmosférica de certo local, com gravidade igual a g, foram utilizados dois barômetros (instrumentos medidores de pressão), um contendo mercúrio e o outro contendo água. Assinale a alternativa que apresenta a diferença de altura entre as colunas de água e de mercúrio

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a diferença de altura entre a coluna de água e a coluna de mercúrio em dois barômetros que medem a mesma pressão atmosférica num local onde a gravidade vale g.
Informações relevantes (o enunciado não dá valores numéricos das densidades nem da altura do mercúrio, então vou usar os valores físicos padrão normalmente adotados em exercícios):
  • A pressão exercida pela atmosfera é a mesma nos dois barômetros (pois medem a mesma pressão).
  • Densidade do mercúrio: \rho_{Hg}=13{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Densidade da água: \rho_{w}=1{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pressão atmosférica padrão: P_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa} (valor usado para obter a altura da coluna de mercúrio típica).
  • Gravidade: g (pode ser mantida simbólica; para cálculo numérico uso g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
O enunciado pede a diferença de altura \Delta h = h_{w}-h_{Hg} entre as colunas.

Passo 2

Princípio físico usado (aula rápida e prática): a lei da hidrostática diz que a pressão exercida por uma coluna imóvel de fluido é
P=\rho g h,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a altura da coluna de fluido ( \mathrm{m}),
  • P é a pressão ao nível da base da coluna ( \mathrm{Pa}).
Interpretação: essa fórmula diz que quanto mais denso o fluido ou maior a coluna, maior a pressão que ele exerce na base. Excelente — é isso que um barômetro usa: a coluna de fluido equilibra a pressão atmosférica.
Exemplo rápido: uma coluna de água de 1\\ \mathrm{m} exerce pressão P=1000\cdot 9{,}81\cdot 1\approx9810\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Aplicando a lei aos dois barômetros:
  • Para o barômetro com mercúrio vale \,P_{atm}=\rho_{Hg}\,g\,h_{Hg}\,.
  • Para o barômetro com água vale \,P_{atm}=\rho_{w}\,g\,h_{w}\,.
Igualando as duas expressões (mesma P_{atm}) temos
\rho_{Hg}\,g\,h_{Hg}=\rho_{w}\,g\,h_{w}.
Como g\neq0, ele cancela dos dois lados, portanto
h_{w}=\frac{\rho_{Hg}}{\rho_{w}}\,h_{Hg}.
A diferença pedida é
\Delta h = h_{w}-h_{Hg}=h_{Hg}\!\left(\frac{\rho_{Hg}}{\rho_{w}}-1\right).
Comentário: observe que a diferença não depende de g (o g cancela). Isso é útil na prova — mesmo que o enunciado desse um g diferente, a relação entre alturas depende só das densidades.

Passo 4

Agora vamos ao cálculo numérico usando os valores padrão. Primeiro obtenho a altura típica da coluna de mercúrio para a pressão atmosférica padrão:
h_{Hg}=\frac{P_{atm}}{\rho_{Hg}\,g} =\frac{101325}{13{,}6\times10^{3}\cdot 9{,}81}.
Calculemos passo a passo:
13{,}6\times10^{3}\cdot 9{,}81 = 13{,}6\cdot9{,}81\times10^{3}=133{,}416\times10^{3}\\ \text{(mas vamos manter unidades)}.
h_{Hg}\approx\frac{101325}{133416}\approx0{,}7596\\ \mathrm{m}\approx0{,}76\\ \mathrm{m}.
(Esse é o valor clássico de 0{,}76\\ \mathrm{m} ou 76\\ \mathrm{cm} para a coluna de mercúrio à pressão atmosférica padrão.)
Agora calculo a altura da coluna de água:
h_{w}=\frac{\rho_{Hg}}{\rho_{w}}\,h_{Hg} = \frac{13{,}6\times10^{3}}{1{,}0\times10^{3}}\cdot 0{,}7596 =13{,}6\cdot 0{,}7596 \approx 10{,}336\\ \mathrm{m}.
Finalmente a diferença:
\Delta h = h_{w}-h_{Hg}\approx 10{,}336-0{,}7596=9{,}576\\ \mathrm{m}.
Arredondando de maneira razoável: \Delta h\approx 9{,}58\\ \mathrm{m} (ou, com menos casas, \approx 9{,}6\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Interpretação prática: para a mesma pressão atmosférica que sustenta 0{,}76\\ \mathrm{m} de mercúrio, a coluna de água precisa ter cerca de 10{,}34\\ \mathrm{m}, portanto a coluna de água fica aproximadamente 9{,}58\\ \mathrm{m} mais alta que a de mercúrio. É por isso que se usa mercúrio em barômetros de bancada — a coluna de água seria imensa (difícil de manipular).

Resposta

\Delta h\approx 9{,}58\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados