24- O volume de determinado corpo se altera com a variação da temperatura se comportando de acordo com a função \mathrm{V}(\mathrm{T})=\mathrm{T} 3-2 \mathrm{~T} 2+1. Esse volume é dado em metros cúbicos, e a temperatura utilizada na função está em kelvin. Sabendo que a massa desse corpo nunca se altera, assinale a variação percentual da densidade deste corpo nas temperaturas de 0 \circ \mathrm{C} e 100 \circ \mathrm{C} respectivamente:

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e pede, sem resolver ainda.
  • Foi dada a função do volume em função da temperatura (a temperatura em kelvin):
V(T)=T^{3}-2T^{2}+1.
  • O volume V está em metros cúbicos e a temperatura T está em kelvin.
  • A massa do corpo é constante (não varia com a temperatura).
  • O enunciado pede a variação percentual da densidade do corpo entre as temperaturas 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}.
Informações que vamos usar (que vêm do enunciado):
  • Função V(T) conforme acima.
  • Temperaturas a avaliar: 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}.
  • Lembrar que temperaturas no modelo devem ser usadas em kelvin.

Passo 2

Converter as temperaturas de Celsius para kelvin (pois a função V(T) usa kelvin).
  • A relação é \;T_{\text{K}} = T_{^\circ\mathrm{C}} + 273.
  • Portanto:
\text{Para }0^\circ\mathrm{C}:\quad T_1 = 0 + 273 = 273\\ \text{K}.
\text{Para }100^\circ\mathrm{C}:\quad T_2 = 100 + 273 = 373\\ \text{K}.

Passo 3

Lembrar a definição de densidade e como ela varia quando a massa é constante.
  • Densidade é massa por volume:
\rho(T)=\frac{m}{V(T)},
onde m é a massa (constante aqui) e V(T) é o volume na temperatura T.
  • Como m é constante, a densidade é inversamente proporcional ao volume:
\rho(T)\propto\frac{1}{V(T)}.
  • A variação percentual da densidade quando se vai de uma temperatura inicial T_i (com densidade \rho_i) para uma final T_f (com densidade \rho_f) é dada por
\text{var\%}=\frac{\rho_f-\rho_i}{\rho_i}\times100\%.
  • Substituindo \rho_i=\dfrac{m}{V_i} e \rho_f=\dfrac{m}{V_f} (com V_i=V(T_i) e V_f=V(T_f)), obtemos uma forma útil sem a massa:
\text{var\%}=\frac{\dfrac{1}{V_f}-\dfrac{1}{V_i}}{\dfrac{1}{V_i}}\times100\% =\frac{V_i-V_f}{V_f}\times100\%.
Assim dá para calcular a variação percentual da densidade apenas com os volumes em T_i e T_f.

Passo 4

Calcular os volumes em T_1=273\\ \text{K} e T_2=373\\ \text{K} usando V(T)=T^{3}-2T^{2}+1. Vou mostrar as contas passo a passo.
  • Para T_1=273:
273^{2}=74529,
273^{3}=273\cdot74529=20\,346\,417,
V(273)=273^{3}-2\cdot273^{2}+1=20\,346\,417-2\cdot74\,529+1.
Calcular 2\cdot74\,529=149\,058. Então
V(273)=20\,346\,417-149\,058+1=20\,197\,360.
  • Para T_2=373:
373^{2}=139129,
373^{3}=373\cdot139129=51\,895\,117,
V(373)=373^{3}-2\cdot373^{2}+1=51\,895\,117-2\cdot139\,129+1.
Calcular 2\cdot139\,129=278\,258. Então
V(373)=51\,895\,117-278\,258+1=51\,616\,860.
Portanto:
V_i=V(273)=20\,197\,360,\qquad V_f=V(373)=51\,616\,860.

Passo 5

Aplicar a fórmula da variação percentual da densidade obtida no Passo 3, usando os volumes calculados.
Recordando a fórmula:
\text{var\%}=\frac{V_i-V_f}{V_f}\times100\%.
Substituindo os valores:
\text{var\%}=\frac{20\,197\,360-51\,616\,860}{51\,616\,860}\times100\%.
Calcular a diferença:
20\,197\,360-51\,616\,860=-31\,419\,500.
Logo
\text{var\%}=\frac{-31\,419\,500}{51\,616\,860}\times100\%.

Passo 6

Fazer a divisão aproximada para obter o valor percentual numérico.
  • Primeiro a razão:
\frac{31\,419\,500}{51\,616\,860}\approx0,6087061.
  • Portanto
\text{var\%}\approx-0,6087061\times100\%=-60,87061\%.
Arredondando de modo prático para duas casas decimais:
\text{var\%}\approx-60,87\%.
Interpretação: o sinal negativo indica que a densidade diminuiu quando a temperatura subiu de 0^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C}. Em termos espalhando a frase: a densidade diminuiu aproximadamente 60,87\%.

Resposta

-60,87\%

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