26-Um engenheiro eletricista precisa instalar 3 dispositivos de proteção distintos (Disjuntor A, Disjuntor B e Disjuntor C) em um quadro de distribuição que possui 5 posições físicas disponíveis em linha (posições 1, 2, 3, 4 e 5 ). A ordem de instalação é importante porque a sequência física afeta o balanceamento de fases e a organização do painel. De quantas maneiras diferentes o engenheiro pode escolher 3 das 5 posições disponíveis para alocar os 3 disjuntores distintos?

Passo 1

O enunciado pede: de quantas maneiras diferentes o engenheiro pode escolher 3 das 5 posições disponíveis para alocar 3 disjuntores distintos (Disjuntor A, Disjuntor B e Disjuntor C), considerando que a ordem física importa (ou seja, trocar A e B entre duas posições gera uma configuração diferente).
Informações dadas:
  • Existem 5 posições físicas numeradas: 1,2,3,4,5.
  • Há 3 disjuntores distintos: A, B e C.
  • A ordem importa (cada disjuntor é distinto e a posição que cada um ocupa conta).
  • É necessário escolher exatamente 3 posições dentre as 5 e atribuir os 3 disjuntores a essas posições.

Passo 2

Entendendo o que precisamos contar (ideia-chave, explicada com calma).
  • Cada solução é uma atribuição injetiva dos 3 disjuntores às 5 posições: cada disjuntor ocupa uma posição diferente.
  • Uma forma natural de contar é pensar em escolhas sequenciais: primeiro escolho a posição para um disjuntor, depois para o outro entre as restantes, e assim por diante.
  • Esse raciocínio usa o Princípio Fundamental da Contagem: se uma tarefa pode ser feita em a maneiras e, após escolhida uma maneira, outra tarefa pode ser feita em b maneiras, então as duas tarefas em sequência podem ser feitas em a\cdot b maneiras.

Passo 3

Aplicando o raciocínio sequencial às posições:
  • Para o primeiro disjuntor (por exemplo A) há 5 posições possíveis.
  • Depois de colocar o primeiro, para o segundo disjuntor (B) restam 4 posições disponíveis.
  • Finalmente, para o terceiro disjuntor (C) restam 3 posições disponíveis.
    Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de atribuições é
5\cdot 4\cdot 3.

Passo 4

Apresentando a fórmula geral (útil para outras questões) e mostrando a equivalência.
  • Definição de fatorial: para n inteiro não negativo,
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1,
com 0! = 1.
  • A fórmula geral para o número de permutações de k elementos distintos escolhidos de um conjunto de n elementos (quando a ordem importa) é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.
Substituindo n=5 e k=3 temos
P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=5\cdot 4\cdot 3.

Passo 5

Outro caminho (para reforçar o raciocínio) — escolher posições primeiro e depois ordenar os disjuntores:
  • Se apenas escolhesse quais são as 3 posições (sem considerar qual disjuntor vai em qual), o número de escolhas seria
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}.
  • Como os disjuntores são distintos, para cada escolha de 3 posições há 3! maneiras de permutar os disjuntores entre essas posições. Logo o total é
\binom{5}{3}\cdot 3! = \frac{5!}{3!2!}\cdot 3! = \frac{5!}{2!}=5\cdot4\cdot3,
o mesmo resultado obtido antes (confere a consistência).

Passo 6

Dica prática para prova (resumindo o procedimento que funciona sempre):
  • Se escolher k posições distintas entre n disponíveis e os objetos são distintos e a ordem importa, use P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}.
  • Se preferir pensar passo a passo, conte quantas opções há para cada escolha sucessiva e multiplique.
  • Evite confundir com combinações: se os objetos fossem idênticos (ou a ordem não importasse), usar-se-ia \binom{n}{k}.

Resposta

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