26-Um engenheiro eletricista precisa instalar 3 dispositivos de proteção distintos (Disjuntor A, Disjuntor B e Disjuntor C) em um quadro de distribuição que possui 5 posições físicas disponíveis em linha (posições 1, 2, 3, 4 e 5 ). A ordem de instalação é importante porque a sequência física afeta o balanceamento de fases e a organização do painel. De quantas maneiras diferentes o engenheiro pode escolher 3 das 5 posições disponíveis para alocar os 3 disjuntores distintos?
Passo 1
O enunciado pede: de quantas maneiras diferentes o engenheiro pode escolher 3 das 5 posições disponíveis para alocar 3 disjuntores distintos (Disjuntor A, Disjuntor B e Disjuntor C), considerando que a ordem física importa (ou seja, trocar A e B entre duas posições gera uma configuração diferente).
Informações dadas:
- Existem 5 posições físicas numeradas:
. - Há 3 disjuntores distintos: A, B e C.
- A ordem importa (cada disjuntor é distinto e a posição que cada um ocupa conta).
- É necessário escolher exatamente 3 posições dentre as 5 e atribuir os 3 disjuntores a essas posições.
Passo 2
Entendendo o que precisamos contar (ideia-chave, explicada com calma).
- Cada solução é uma atribuição injetiva dos 3 disjuntores às 5 posições: cada disjuntor ocupa uma posição diferente.
- Uma forma natural de contar é pensar em escolhas sequenciais: primeiro escolho a posição para um disjuntor, depois para o outro entre as restantes, e assim por diante.
- Esse raciocínio usa o Princípio Fundamental da Contagem: se uma tarefa pode ser feita em
maneiras e, após escolhida uma maneira, outra tarefa pode ser feita em maneiras, então as duas tarefas em sequência podem ser feitas em maneiras.
Passo 3
Aplicando o raciocínio sequencial às posições:
- Para o primeiro disjuntor (por exemplo A) há
posições possíveis. - Depois de colocar o primeiro, para o segundo disjuntor (B) restam
posições disponíveis. - Finalmente, para o terceiro disjuntor (C) restam
posições disponíveis.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de atribuições é
Passo 4
Apresentando a fórmula geral (útil para outras questões) e mostrando a equivalência.
- Definição de fatorial: para
inteiro não negativo,
com
.
- A fórmula geral para o número de permutações de
elementos distintos escolhidos de um conjunto de elementos (quando a ordem importa) é
Substituindo
e
temos
Passo 5
Outro caminho (para reforçar o raciocínio) — escolher posições primeiro e depois ordenar os disjuntores:
- Se apenas escolhesse quais são as 3 posições (sem considerar qual disjuntor vai em qual), o número de escolhas seria
- Como os disjuntores são distintos, para cada escolha de 3 posições há
maneiras de permutar os disjuntores entre essas posições. Logo o total é
o mesmo resultado obtido antes (confere a consistência).
Passo 6
Dica prática para prova (resumindo o procedimento que funciona sempre):
- Se escolher
posições distintas entre disponíveis e os objetos são distintos e a ordem importa, use . - Se preferir pensar passo a passo, conte quantas opções há para cada escolha sucessiva e multiplique.
- Evite confundir com combinações: se os objetos fossem idênticos (ou a ordem não importasse), usar-se-ia
.