27- Em um almoxarifado de uma indústria, existem 8 resistores de mesmo valor nominal, porém provenientes de lotes diferentes (todos são considerados eletricamente iguais para o projeto). Um técnico precisa retirar 4 desses resistores para montar um circuito de acionamento. Como os resistores são funcionalmente idênticos, a ordem de escolha não importa, apenas quais deles são levados. Quantos grupos diferentes de resistores o técnico pode levar?
Passo 1
Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados: existem
resistores disponíveis. - Ação: o técnico precisa retirar
desses resistores. - Observação importante: a ordem de escolha não importa — ou seja, levar os resistores
é a mesma coisa que levar . - Pergunta: quantos grupos diferentes de
resistores o técnico pode formar a partir dos disponíveis?
Passo 2
Entendendo a diferença entre “ordem importa” e “ordem não importa” (intuição básica).
- Se a ordem importasse (por exemplo, escolher um primeiro, depois um segundo, etc.), estaríamos lidando com permutações e contaríamos mais possibilidades.
- Como aqui a ordem não importa, queremos contar combinações: conjuntos de
resistores sem considerar diferentes ordens como distintos. - Exemplo simples para fixar: se há
objetos e escolho , as combinações são — são no total, enquanto as permutações de tamanho seriam (porque cada par aparece em duas ordens).
Passo 3
Apresentando a fórmula de combinação e explicando por quê funciona.
- A fórmula que conta quantas maneiras de escolher
objetos dentre quando a ordem não importa é
onde
(lê-se “
fatorial”) significa
.
- Intuição da fórmula: primeiro conta-se todas as sequências possíveis de
elementos (ordem importa) e depois divide-se por porque cada conjunto escolhido aparece vezes nas sequências — correspondendo às permutações internas da mesma seleção. O fator aparece na expressão completa do fatorial ao manipular a contagem; a fórmula compacta é essa acima.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso concreto
e
.
- Usando a fórmula:
- Desenvolvendo e simplificando para evitar números grandes:
- Agora simplificando passo a passo:
Passo 5
Interpretação final e motivação.
- A conta mostra que existem
grupos diferentes de resistores que o técnico pode levar. - Em palavras: dentre os
resistores distintos (mesmo que “funcionalmente idênticos”), as escolhas de quais levar formam combinações distintas quando não se considera ordem. - Vai firme na prova — lembrar dessa fórmula e do jeito de simplificar ajuda muito a fazer rápido sem calculadora.