27- Em um almoxarifado de uma indústria, existem 8 resistores de mesmo valor nominal, porém provenientes de lotes diferentes (todos são considerados eletricamente iguais para o projeto). Um técnico precisa retirar 4 desses resistores para montar um circuito de acionamento. Como os resistores são funcionalmente idênticos, a ordem de escolha não importa, apenas quais deles são levados. Quantos grupos diferentes de resistores o técnico pode levar?

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados: existem 8 resistores disponíveis.
  • Ação: o técnico precisa retirar 4 desses resistores.
  • Observação importante: a ordem de escolha não importa — ou seja, levar os resistores A,B,C,D é a mesma coisa que levar B,A,D,C.
  • Pergunta: quantos grupos diferentes de 4 resistores o técnico pode formar a partir dos 8 disponíveis?

Passo 2

Entendendo a diferença entre “ordem importa” e “ordem não importa” (intuição básica).
  • Se a ordem importasse (por exemplo, escolher um primeiro, depois um segundo, etc.), estaríamos lidando com permutações e contaríamos mais possibilidades.
  • Como aqui a ordem não importa, queremos contar combinações: conjuntos de 4 resistores sem considerar diferentes ordens como distintos.
  • Exemplo simples para fixar: se há 3 objetos \{1,2,3\} e escolho 2, as combinações são \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\} — são 3 no total, enquanto as permutações de tamanho 2 seriam 6 (porque cada par aparece em duas ordens).

Passo 3

Apresentando a fórmula de combinação e explicando por quê funciona.
  • A fórmula que conta quantas maneiras de escolher k objetos dentre n quando a ordem não importa é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) significa n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1.
  • Intuição da fórmula: primeiro conta-se todas as sequências possíveis de k elementos (ordem importa) e depois divide-se por k! porque cada conjunto escolhido aparece k! vezes nas sequências — correspondendo às k! permutações internas da mesma seleção. O fator (n-k)! aparece na expressão completa do fatorial ao manipular a contagem; a fórmula compacta é essa acima.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso concreto n=8 e k=4.
  • Usando a fórmula:
\binom{8}{4}=\frac{8!}{4! \, 4!}.
  • Desenvolvendo e simplificando para evitar números grandes:
\binom{8}{4}=\frac{8\times7\times6\times5\times4!}{4!\times4!}=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}.
  • Agora simplificando passo a passo:
\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1} = \frac{(8\div4)\times7\times6\times5}{3\times2\times1} = \frac{2\times7\times6\times5}{3\times2\times1}.
\frac{2\times7\times6\times5}{3\times2\times1} = \frac{2\times7\times(6\div3)\times5}{2\times1} = \frac{2\times7\times2\times5}{2\times1}.
\frac{2\times7\times2\times5}{2\times1} = \frac{(2\div2)\times7\times2\times5}{1} = 7\times2\times5 = 70.

Passo 5

Interpretação final e motivação.
  • A conta mostra que existem \,70\, grupos diferentes de 4 resistores que o técnico pode levar.
  • Em palavras: dentre os 8 resistores distintos (mesmo que “funcionalmente idênticos”), as escolhas de quais 4 levar formam 70 combinações distintas quando não se considera ordem.
  • Vai firme na prova — lembrar dessa fórmula e do jeito de simplificar ajuda muito a fazer rápido sem calculadora.

Resposta

70

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