24- Em uma subestação elétrica, um engenheiro precisa programar a manutenção de três transformadores (todos do mesmo tipo, denotados por T) e dois disjuntores (todos do mesmo tipo, denotados por D ) ao longo de um dia. A sequência de manutenção é importante para garantir a continuidade do serviço e a segurança da equipe. Como os três transformadores são idênticos entre si e os dois disjuntores são idênticos entre si, de quantas maneiras distintas o engenheiro pode organizar a sequência de manutenção desses 5 equipamentos?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou pegar os números exatamente do enunciado):
  • ...3... transformadores idênticos, todos do tipo T.
  • ...2... disjuntores idênticos, todos do tipo D.
  • No total são ...5... equipamentos a serem organizados numa sequência de manutenção.
    A pergunta é: de quantas maneiras distintas o engenheiro pode organizar a sequência desses ...5... equipamentos, levando em conta que os três T são indistinguíveis entre si e os dois D são indistinguíveis entre si?

Passo 2

Intuição inicial (se todos fossem diferentes)
  • Se os ...5... equipamentos fossem todos diferentes, o número de sequências possíveis seria o número de permutações de ...5... objetos distintos, que é dado por ...5! (lê-se “5 fatorial”).
  • Explicando fatorial: para um inteiro positivo ...n..., ...n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1....
    Assim, 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
  • Mas aqui não é esse o caso, pois há objetos idênticos — isso gera contagens repetidas se usarmos ...5! diretamente.

Passo 3

Por que dividir quando há objetos idênticos? (ideia e justificação)
  • Quando há repetições (objetos indistinguíveis), cada arranjo distinto é contado várias vezes por ...5!, porque permutar entre si os T idênticos não cria uma sequência nova; o mesmo vale para os D.
  • Se há ...3... objetos idênticos de um tipo, todas as permutações entre esses ...3... ocupantes foram contadas ...3! vezes no total ...5!.
  • Se há ...2... objetos idênticos do outro tipo, as permutações entre esses ...2... foram contadas ...2! vezes.
  • Como essas contagens se combinam de forma independente, devemos dividir ...5! por ...3! e por ...2! para remover as repetições contadas em excesso.
  • Fórmula geral: para um total de ...n... itens com grupos repetidos de tamanhos ...n_1,n_2,\dots, o número de permutações distintas é \frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao problema
  • Aqui ...n=5..., com ...n_1=3... (os T) e ...n_2=2... (os D). Então o número de sequências distintas é \frac{5!}{3!\,2!}.
  • Calculemos passo a passo: 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120,
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6,\qquad 2! = 2\cdot1 = 2.
\frac{5!}{3!\,2!} = \frac{120}{6\cdot2} = \frac{120}{12} = 10.

Passo 5

Um jeito alternativo (mais visual): escolher posições para os T
  • Outra interpretação equivalente: escolher em quais ...3... das ...5... posições ficarão os T. O número de formas de escolher ...3... posições dentre ...5... é o coeficiente binomial \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!},que é exatamente ...10....
  • Esse raciocínio é prático na prova: em vez de decorar a fórmula, pense “escolho as posições dos T (ou dos D) e o restante fica automático”.

Passo 6

Exemplo concreto (listagem das ...10... sequências) — para fixar a ideia
  • Listando todas as sequências possíveis com três T e dois D (cada sequência é um arranjo de comprimento ...5...): DDTTT,\; DTDTT,\; DTTDT,\; DTTTD,\; TDDTT,\; TDTDT,\; TDTTD,\; TTDDT,\; TTDTD,\; TTTDD.
  • São exatamente ...10... sequências distintas, confirmando o cálculo.

Resposta

10

Exercícios relacionados