24- Em uma subestação elétrica, um engenheiro precisa programar a manutenção de três transformadores (todos do mesmo tipo, denotados por T) e dois disjuntores (todos do mesmo tipo, denotados por D ) ao longo de um dia. A sequência de manutenção é importante para garantir a continuidade do serviço e a segurança da equipe. Como os três transformadores são idênticos entre si e os dois disjuntores são idênticos entre si, de quantas maneiras distintas o engenheiro pode organizar a sequência de manutenção desses 5 equipamentos?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou pegar os números exatamente do enunciado):
- Há
transformadores idênticos, todos do tipo . - Há
disjuntores idênticos, todos do tipo . - No total são
equipamentos a serem organizados numa sequência de manutenção.
A pergunta é: de quantas maneiras distintas o engenheiro pode organizar a sequência dessesequipamentos, levando em conta que os três são indistinguíveis entre si e os dois são indistinguíveis entre si?
Passo 2
Intuição inicial (se todos fossem diferentes)
- Se os
equipamentos fossem todos diferentes, o número de sequências possíveis seria o número de permutações de objetos distintos, que é dado por (lê-se “5 fatorial”). - Explicando fatorial: para um inteiro positivo
, .
Assim, - Mas aqui não é esse o caso, pois há objetos idênticos — isso gera contagens repetidas se usarmos
diretamente.
Passo 3
Por que dividir quando há objetos idênticos? (ideia e justificação)
- Quando há repetições (objetos indistinguíveis), cada arranjo distinto é contado várias vezes por
, porque permutar entre si os idênticos não cria uma sequência nova; o mesmo vale para os . - Se há
objetos idênticos de um tipo, todas as permutações entre esses ocupantes foram contadas vezes no total . - Se há
objetos idênticos do outro tipo, as permutações entre esses foram contadas vezes. - Como essas contagens se combinam de forma independente, devemos dividir
por e por para remover as repetições contadas em excesso. - Fórmula geral: para um total de
itens com grupos repetidos de tamanhos , o número de permutações distintas é
Passo 4
Aplicando a fórmula ao problema
- Aqui
, com (os ) e (os ). Então o número de sequências distintas é - Calculemos passo a passo:
Passo 5
Um jeito alternativo (mais visual): escolher posições para os
- Outra interpretação equivalente: escolher em quais
das posições ficarão os . O número de formas de escolher posições dentre é o coeficiente binomial que é exatamente . - Esse raciocínio é prático na prova: em vez de decorar a fórmula, pense “escolho as posições dos
(ou dos ) e o restante fica automático”.
Passo 6
Exemplo concreto (listagem das
sequências) — para fixar a ideia
- Listando todas as sequências possíveis com três
e dois (cada sequência é um arranjo de comprimento ): - São exatamente
sequências distintas, confirmando o cálculo.