usando operações elementares sobre as linhas, e dar o posto de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para escalonar, por operações elementares sobre linhas, as matrizes dadas e, com isso, determinar o posto de cada uma. As matrizes fornecidas são:
Aplicar operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) até obter uma forma escalonada (ou reduzida) de cada matriz.
Determinar o posto de cada matriz a partir da forma escalonada.
Informações relevantes dadas: as entradas numéricas das três matrizes A,\;B,\;C (mostradas acima).]
Passo 2
Rápida revisão das ferramentas que vou usar (pra você lembrar na prova):
Operações elementares sobre linhas permitidas:
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0;
adicionar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
O objetivo da eliminação de Gauss é obter uma forma triangular superior (forma escalonada), onde aparecem pivôs (primeiros elementos não nulos de cada linha) e zeros abaixo desses pivôs.
O posto (rank) de uma matriz é igual ao número de pivôs (ou ao número de linhas não nulas) na forma escalonada. Vou mostrar as operações passo a passo e, no final de cada matriz, ficará claro quantas linhas não nulas/pivôs sobraram.
Agora o pivô natural para a segunda linha está na coluna 2, valor -6. Para facilitar as contas, escalo a linha 2 para transformar esse pivô em 1. Faço R_2 \leftarrow -\dfrac{1}{6}R_2. Resultado da linha 2:
Agora temos um pivô na posição (3,3) igual a -\tfrac{5}{6}. Escalo R_3 para transformar esse pivô em 1: R_3 \leftarrow -\dfrac{6}{5}R_3. Resultado R_3=(0,0,1). Matriz:
Observe que R_3 é -1 vezes R_2 (pois (0,-16,-8)= -1\cdot(0,16,8)). Podemos anular R_3 somando R_2 a R_3: R_3 \leftarrow R_3 + R_2 dá R_3=(0,0,0). Assim:
Podemos ainda escalar R_2 para obter pivô 1: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{16}R_2 = (0,1,\tfrac{1}{2}). A forma escalonada (triangular) mostra duas linhas não nulas.]
Passo 8
Se quisermos a forma reduzida completa:
R_2=(0,1,\tfrac{1}{2}).
Elimino acima: R_1 \leftarrow R_1 - 5R_2 dá R_1 = (1,0,\tfrac{1}{2}).
A forma reduzida seria
Na forma acima, a segunda linha tem o primeiro não nulo na coluna 3, mas preferimos ter pivô na coluna 2 para escalonar de forma padrão. Troco R_2 com R_3: R_2 \leftrightarrow R_3. Obtenho