1.26 Escalonar as seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 3 \\\\ -2 & 6 & 2 \\\\ 3 & -1 & 1 \end{array}\right) \quad e \quad C=\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 6 & 1 \\\\ 3 & 1 & 4 \end{array}\right),
usando operações elementares sobre as linhas, e dar o posto de cada uma delas.

Passo 1

O enunciado pede para escalonar, por operações elementares sobre linhas, as matrizes dadas e, com isso, determinar o posto de cada uma. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3\\[4pt] -2 & 6 & 2\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 6 & 1\\[4pt] 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Aplicar operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) até obter uma forma escalonada (ou reduzida) de cada matriz.
  • Determinar o posto de cada matriz a partir da forma escalonada.
Informações relevantes dadas: as entradas numéricas das três matrizes A,\;B,\;C (mostradas acima).]

Passo 2

Rápida revisão das ferramentas que vou usar (pra você lembrar na prova):
  • Operações elementares sobre linhas permitidas:
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0;
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
  • O objetivo da eliminação de Gauss é obter uma forma triangular superior (forma escalonada), onde aparecem pivôs (primeiros elementos não nulos de cada linha) e zeros abaixo desses pivôs.
  • O posto (rank) de uma matriz é igual ao número de pivôs (ou ao número de linhas não nulas) na forma escalonada. Vou mostrar as operações passo a passo e, no final de cada matriz, ficará claro quantas linhas não nulas/pivôs sobraram.
Agora vamos escalonar cada matriz.

Passo 3

Começo com
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Usarei R_1 como linha-pivô para zerar as entradas abaixo em coluna 1.
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Isso é: subtrair duas vezes a linha 1 da linha 2.
Cálculo elemento a elemento:
  • primeira coluna: 2-2\cdot1=0,
  • segunda coluna: 0-2\cdot3=-6,
  • terceira coluna: 1-2\cdot0=1.
Obtenho
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & -6 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora o pivô natural para a segunda linha está na coluna 2, valor -6. Para facilitar as contas, escalo a linha 2 para transformar esse pivô em 1. Faço R_2 \leftarrow -\dfrac{1}{6}R_2. Resultado da linha 2:
R_2 = \left(0,\;1,\;-\tfrac{1}{6}\right).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{6}\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Agora zeramos a entrada da coluna 2 na linha 3 com R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
  • segunda coluna: 1-1=0,
  • terceira coluna: -1 - (-\tfrac{1}{6}) = -1 + \tfrac{1}{6} = -\tfrac{5}{6}.
Matriz resultante:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{6}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{5}{6} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora temos um pivô na posição (3,3) igual a -\tfrac{5}{6}. Escalo R_3 para transformar esse pivô em 1: R_3 \leftarrow -\dfrac{6}{5}R_3. Resultado R_3=(0,0,1). Matriz:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{6}\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora elimino acima do pivô da terceira coluna para ficar em forma reduzida:
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{6}R_3 torna R_2=(0,1,0).
  • R_1 já tem zero na coluna 3, mas depois eliminamos a coluna 2 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2 produz R_1=(1,0,0).
Forma reduzida final (identidade):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Esta forma escalonada mostra três linhas pivô (nenhuma linha nula).]

Passo 6

Começo com
B=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3\\[4pt] -2 & 6 & 2\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Usando R_1 como pivô para zerar as entradas da coluna 1 abaixo:
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1. Cálculo da linha 2:
    -2+2\cdot1=0,\quad 6+2\cdot5=16,\quad 2+2\cdot3=8. Assim R_2=(0,16,8).
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Cálculo da linha 3:
    3-3\cdot1=0,\quad -1-3\cdot5=-16,\quad 1-3\cdot3=-8. Assim R_3=(0,-16,-8).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3\\[4pt] 0 & 16 & 8\\[4pt] 0 & -16 & -8 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Observe que R_3 é -1 vezes R_2 (pois (0,-16,-8)= -1\cdot(0,16,8)). Podemos anular R_3 somando R_2 a R_3: R_3 \leftarrow R_3 + R_2 R_3=(0,0,0). Assim:
\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3\\[4pt] 0 & 16 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Podemos ainda escalar R_2 para obter pivô 1: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{16}R_2 = (0,1,\tfrac{1}{2}). A forma escalonada (triangular) mostra duas linhas não nulas.]

Passo 8

Se quisermos a forma reduzida completa:
  • R_2=(0,1,\tfrac{1}{2}).
  • Elimino acima: R_1 \leftarrow R_1 - 5R_2 R_1 = (1,0,\tfrac{1}{2}).
    A forma reduzida seria
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
mostrando claramente duas linhas-pivô (duas linhas não nulas).]

Passo 9

Começo com
C=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 6 & 1\\[4pt] 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Usando R_1 como pivô para zerar abaixo na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: 2-2\cdot1=0,\quad 6-2\cdot3=0,\quad 1-2\cdot0=1. Logo R_2=(0,0,1).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1: 3-3\cdot1=0,\quad 1-3\cdot3= -8,\quad 4-3\cdot0=4. Logo R_3=(0,-8,4).
Matriz após essas operações:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -8 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Na forma acima, a segunda linha tem o primeiro não nulo na coluna 3, mas preferimos ter pivô na coluna 2 para escalonar de forma padrão. Troco R_2 com R_3: R_2 \leftrightarrow R_3. Obtenho
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & -8 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora o pivô na linha 2 é -8 na coluna 2. Escalo esta linha: R_2 \leftarrow -\dfrac{1}{8}R_2 para obter R_2=(0,1,-\tfrac{1}{2}). A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 11

Agora elimino acima dos pivôs:
  • R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2 elimina a entrada na coluna 2 da primeira linha. Cálculo: R_1=(1,3,0) - 3\cdot(0,1,-\tfrac{1}{2}) = (1,0,\tfrac{3}{2}).
  • Em seguida, elimino a entrada da coluna 3 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{2}R_3 R_1=(1,0,0).
  • Também elimino a entrada da coluna 3 em R_2: R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_3 R_2=(0,1,0).
A forma reduzida final é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aqui também aparecem três linhas-pivô (nenhuma linha nula).]

Resposta

posto (A)=3
posto (B)=2
posto \text{(C)}=3

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