1.27 Escalonar as seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrrr} 3 & 2 & 3 & 14 \\\\ 6 & 1 & -2 & -2 \\\\ 3 & -1 & 0 & -1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & -5 \\\\ 3 & 1 & 2 & -3 \\\\ -5 & -4 & -4 & 1 \end{array}\right) \quad e \quad C=\left(\begin{array}{rr} 1 & -3 \\\\ 5 & 6 \\\\ 7 & 0 \end{array}\right),
usando operações elementares sobre as linhas, e dar o posto de cada uma delas.

Passo 1

O enunciado pede para escalonar (usar operações elementares sobre as linhas) cada uma das matrizes dadas e, em seguida, informar o posto (rank) de cada uma. As matrizes fornecidas são:
A=\left(\begin{array}{rrrr} 3 & 2 & 3 & 14 \\\\ 6 & 1 & -2 & -2 \\\\ 3 & -1 & 0 & -1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & -5 \\\\ 3 & 1 & 2 & -3 \\\\ -5 & -4 & -4 & 1 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{rr} 1 & -3 \\\\ 5 & 6 \\\\ 7 & 0 \end{array}\right).
O que se deve entregar:
  • Para cada matriz, mostrar o processo de escalonamento linha a linha (operações elementares sobre linhas).
  • Determinar o posto de cada matriz (número de linhas não-nulas na forma escalonada / número de pivôs).

Passo 2

Rápida explicação didática antes de começar (para te deixar mais confiante):
  • Operações elementares sobre linhas preservam o espaço gerado pelas linhas (logo não alteram o posto): (i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por escalar não-nulo, (iii) somar múltiplo de uma linha em outra.
  • Estratégia prática (eliminação de Gauss): escolhe-se um pivô não-nulo em alguma coluna (normalmente o primeiro elemento não-nulo da primeira linha), anula-se abaixo desse pivô usando combinações lineares, passa-se para a próxima linha/coluna e repete-se até obter uma forma escalonada (todas as linhas nulas, se houver, ficam abaixo).
  • O posto é o número de linhas não-nulas na forma escalonada (equivalente ao número de pivôs).
    Agora aplicamos passo a passo em cada matriz.

Passo 3

Escalonamento da matriz A.
Matriz inicial:
A=\left(\begin{array}{rrrr} 3 & 2 & 3 & 14\\[4pt] 6 & 1 & -2 & -2\\[4pt] 3 & -1 & 0 & -1 \end{array}\right).
Escolhemos 3 (posição (1,1)) como primeiro pivô.
  1. Anular abaixo do pivô na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculando: R_2 = (6,1,-2,-2) - 2(3,2,3,14) = (0,-3,-8,-30).
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Calculando: R_3 = (3,-1,0,-1) - (3,2,3,14) = (0,-3,-3,-15).
Resultado após essas operações:
\left(\begin{array}{rrrr} 3 & 2 & 3 & 14\\[4pt] 0 & -3 & -8 & -30\\[4pt] 0 & -3 & -3 & -15 \end{array}\right).
  1. Próximo pivô: o elemento -3 em (2,2). Anular abaixo na coluna 2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Calculando: R_3 = (0,-3,-3,-15) - (0,-3,-8,-30) = (0,0,5,15).
Agora a matriz está:
\left(\begin{array}{rrrr} 3 & 2 & 3 & 14\\[4pt] 0 & -3 & -8 & -30\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 15 \end{array}\right).
Podemos (se quisermos) escalar cada linha para simplificar os pivôs:
  • R_1 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_1, R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{3}R_2, R_3 \leftarrow \tfrac{1}{5}R_3, obtendo a forma escalonada com pivôs unitários:
\left(\begin{array}{rrrr} 1 & \tfrac{2}{3} & 1 & \tfrac{14}{3}\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{8}{3} & 10\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right).
Observação pedagógica: nesta forma escalonada há pivôs nas colunas 1, 2 e 3 — três linhas não-nulas.]

Passo 4

Escalonamento da matriz B.
Matriz inicial:
B=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & -5\\[4pt] 3 & 1 & 2 & -3\\[4pt] -5 & -4 & -4 & 1 \end{array}\right).
Escolhemos 1 em (1,1) como pivô.
  1. Anular abaixo do pivô na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1. Calculando: R_2 = (3,1,2,-3) - 3(1,-2,0,-5) = (0,7,2,12).
  • R_3 \leftarrow R_3 + 5R_1. Calculando: R_3 = (-5,-4,-4,1) + 5(1,-2,0,-5) = (0,-14,-4,-24).
Resultado:
\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 7 & 2 & 12\\[4pt] 0 & -14 & -4 & -24 \end{array}\right).
  1. Pivô em (2,2) é 7. Anular abaixo:
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2 (porque -14 + 2\cdot7 = 0). Calculando: R_3 = (0,-14,-4,-24) + 2(0,7,2,12) = (0,0,0,0).
Matriz escalonada obtida:
\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 7 & 2 & 12\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Podemos escalar R_2 por \tfrac{1}{7} se quisermos:
\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & \tfrac{12}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Observação pedagógica: aqui há dois pivôs (coluna 1 e coluna 2), e uma linha totalmente nula — portanto duas linhas não-nulas.]

Passo 5

Escalonamento da matriz C.
Matriz inicial:
C=\left(\begin{array}{rr} 1 & -3\\[4pt] 5 & 6\\[4pt] 7 & 0 \end{array}\right).
Escolhemos 1 em (1,1) como pivô.
  1. Anular abaixo do pivô na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 5R_1. Calculando: R_2 = (5,6) - 5(1,-3) = (0,21).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 7R_1. Calculando: R_3 = (7,0) - 7(1,-3) = (0,21).
Resultado intermediário:
\left(\begin{array}{rr} 1 & -3\\[4pt] 0 & 21\\[4pt] 0 & 21 \end{array}\right).
  1. Anular abaixo do pivô em (2,2) (que é 21):
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Calculando: R_3 = (0,21) - (0,21) = (0,0).
Forma escalonada:
\left(\begin{array}{rr} 1 & -3\\[4pt] 0 & 21\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right).
Se quisermos, dividimos R_2 por 21 para pivô unitário:
\left(\begin{array}{rr} 1 & -3\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right).
Observação pedagógica: há pivôs nas colunas 1 e 2, duas linhas não-nulas.]

Resposta

\operatorname{posto}(A)=3
\operatorname{posto}(B)=2
\operatorname{posto}\text{(C)}=2

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